Enunciado

Demonstre analiticamente a Equação (4.1).

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos demonstrar umas equações.

O enunciado pede para provarmos a expressão:

n p = n - 1 p - 1 + n - 1 p

Para fazer isto vamos “abrir” a expressão utilizando a formula da combinação:

n p = n ! n - p ! p !  

Passo 2

A equação ficaria:

n ! n - p ! p ! = ( n - 1 ) ! n - p ! ( p - 1 ) ! + ( n - 1 ) ! n - p - 1 ! ( p ) !

Fazendo o MMC:

n ! p - 1 ! n - p - 1 ! n - p ! p ! p - 1 ! n - p - 1 ! = n - 1 ! n - p - 1 ! p ! n - p ! p - 1 ! n - p - 1 ! p ! + n - 1 ! n - p ! p - 1 ! n - p - 1 ! n - p ! p ! p - 1 !

Realizando a soma:

n ! p - 1 ! n - p - 1 ! n - p ! p ! p - 1 ! n - p - 1 ! = n - 1 ! n - p - 1 ! p ! + n - 1 ! n - p n - p - 1 ! p - 1 ! n - p ! p - 1 ! n - p - 1 ! p !

Passo 3

Cortando o n - p - 1 ! :

n ! p - 1 ! n - p ! p ! p - 1 ! = n - 1 ! p ! + n - 1 ! n - p p - 1 ! n - p ! p - 1 ! p !

Multiplicando tudo por n - p ! p ! p - 1 ! :

n ! p - 1 ! = n - 1 ! p ! + n - 1 ! n - p p - 1 !

Usando p ! = p p - 1 ! :

n ! p - 1 ! = n - 1 ! p ( p - 1 ) ! + n - 1 ! n - p p - 1 !

Dividindo tudo por p - 1 ! :

Passo 4

n ! = n - 1 ! p + n - 1 ! n - p

Aplicando n ! = n n - 1 ! e dividindo tudo por n - 1 ! :

n = p + n - p = n

n = n

Como chegamos em uma igualdade verdadeira a equação inicial também é verdadeira.

Assim provamos que:

n p = n - 1 p - 1 + n - 1 p

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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