Enunciado

Demonstre o teorema multinomial.

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos demonstrar outra identidade.

(x_1 + x_2 + ... + x_r)^n = sum_[[n_1,,,...,,,n_r],[n_1,+,...,+,n_r,=,n],[n_i,in,N]] ([[n],[n_1,,,n_2,,,...,,,n_r]]) x_1^(n_1) x_2^(n_2) * ... * x_r^(n_r)

Vamos trabalhar com a parte esquerda da equação, pela definição de potência sabemos que:

(x_1 + x_2 + ... + x_r)^n = (x_1 + x_2 + ... + x_r) (x_1 + x_2 + ... + x_r) ... (x_1 + x_2 + ... + x_r)

Com n termos se multiplicando.

Note que agora ao aplicar a propriedade distributiva cada um dos termos da soma será da forma:

x_1^(n_1) x_2^(n_2) * ... * x_r^(n_r) , s e n d o n_1 + n_2 + ... + n_r = n

Passo 2

Então, podemos calcular quais são todas as possibilidades deste termo, vendo todas as variações da expressão n_1 + n_2 + ... + n_r = n . Ou seja, vamos escolher dentre n objetos n_1 para ser o expoente do x_1 , n_2 para o x_2 , ..., n_r para o x_r e isso pode ser calculado através de um multinômios ([[n],[n_1,,,n_2,,,...,,,n_r]]) .

vamos ter que multiplicar as ([[n],[n_1,,,n_2,,,...,,,n_r]]) maneiras de se formar uma solução pela solução genérica e fazer o somatório para generalizar os valores de n_k :

(x_1 + x_2 + ... + x_r)^n = sum_[[n_1,,,...,,,n_r],[n_1,+,...,+,n_r,=,n],[n_i,in,N]] ([[n],[n_1,,,n_2,,,...,,,n_r]]) x_1^(n_1) x_2^(n_2) * ... * x_r^(n_r)

Como queríamos demonstar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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