Enunciado

Deseja-se comparar o tempo de recuperação pós operatório para duas técnicas cirúrgicas. Pacientes operados, segundo cada uma das técnicas, foram selecionados aleatoriamente e seu tempo de recuperação, em dias, registrado. Todos os pacientes apresentavam o mesmo estado de saúde antes da cirurgia. Os dados obtidos são:

  1. Verifique se as variantes populacionais correspondentes às duas técnicas são iguais.
  2. Verifique se a Técnica 1 é mais eficiente com relação ao tempo médio de recuperação. Use α = 5 % .

Passo 1

Item (a)

Para responder o item vamos realizar um teste de hipótese para comparar as duas variâncias populacionais que são desconhecidas.

Primeiro vamos calcular as médias e variâncias amostrais de cada técnica:

Técnica 1

N° de pessoas na amostra: n=5

Média: x 1 _ =   4 + 4 + 5 + 6 + 6 5 = 5

Variância: v 1 2 =   ∑ i = 1 n ( x i - x _ ) ² n - 1 =   ∑ i = 1 5 ( x i - 1 ) ² 5 - 1 = 1

Técnica 2

N° de pessoas na amostra: m=5

Média: x 2 _ =   6 + 6 + 7 + 7 + 8 5 = 6,8

Variância: v 1 2 =   ∑ i = 1 n ( x i - x _ ) ² n - 1 =   ∑ i = 1 5 ( x i - 6,8 ) ² 5 - 1 = 0,7

Passo 2

Vamos agora escrever as hipóteses do teste:

H 0 : σ 1 2 = σ 2 2

H 1 : σ 1 2 ≠ σ 2 2

Vamos calcular a estatística do teste utilizando as variâncias amostrais:

f o b s = v 1 2 v 2 2 =   1,42

Queremos rejeitar ou não H 0 , isto é, se f o b s pertencer a região crítica (RC) do teste, rejeitamos H 0 caso contrário H 0 é verdadeira. No nosso exercício significa que : se f o b s pertencer a RC então as variâncias populacionais não são iguais (rejeitasse H 0 ), se se f o b s não pertencer a RC então as variâncias populacionais são iguais (não se rejeita H 0 ).

Passo 3

Vamos escrever a região crítica do teste:

R C = 0 , f ( 1 - α 2 , n - 1 , m - 1 ) f ( α 2 , n - 1 , m - 1 ) , + ∞

Agora só precisamos calcular f ( 1 - α 2 , n - 1 , m - 1 ) e f ( α 2 , n - 1 , m - 1 ) , para isso vamos utilizar os valores da tabela F-snedecor com α = 5 %

f ( 1 - α 2 , n - 1 , m - 1 ) = f ( 0,975,4 , 4 ) = 0,156

f ( α 2 , n - 1 , m - 1 ) = f ( 0,025,4 , 4 ) = 6,39

Agora vamos reescrever a região crítica e analisar f o b s :

R C = 0 , f ( 1 - α 2 , n - 1 , m - 1 ) f ( α 2 , n - 1 , m - 1 ) , + ∞

R C = 0 ; 0,156 6,39 ; + ∞

Temos que f o b s =   1,42 logo f o b s não pertence a RC então H 0 é verdadeira.

Então podemos concluir que as variâncias populacionais entre as duas técnicas são iguais

Passo 4

No item (b) pede-se para analisar se a Técnica 1 é mais eficiente com relação ao tempo médio de recuperação. Para resolver essa pergunta, temos que que realizar um teste de hipótese bilateral à direita para comparar duas médias com variâncias populacionais desconhecidas porém iguais (como descobrimos no item (a).

Inicialmente, vamos escrever as hipóteses do nosso teste:

H 0 : μ 1 2 = μ 2 2

H 1 : μ 1 2 > μ 2 2

Como se trata de um teste para comparar duas médias com variâncias populacionais desconhecidas porém iguais a estatística do teste será:

T o b s = ( x 1 _ - x 2 _ ) s p 1 n + 1 m

Vamos calcular o valor de s p separadamente:

s p = ( n - 1 ) v 1 2 + ( m - 1 ) v 2 2 n + m - 2 = ( 5 - 1 ) * 1 + ( 5 - 1 ) * 0,7 5 + 5 - 2 = 0,689

Agora vamos calcular T o b s :

T o b s = ( x 1 _ - x 2 _ ) s p 1 n + 1 m = ( 5 - 6,8 ) 0,689 1 5 + 1 5 = - 4,137

Sabemos que no teste bilateral à direita de comparação entre duas médias com variâncias populacionais desconhecidas porém iguais temos que: Se T o b s > T α com grau de liberdade b = n + m - 2 , então rejeita-se H 0 .

usando a tabela T-student podemos obter o valor de T α com grau de liberdade b = 8 :

T α = 1,860 logo T α > T o b s ou seja, não rejeitamos H 0 .

Como não podemos rejeitar H 0 , concluímos que a Técnica 1 não é mais eficiente com relação ao tempo médio de recuperação.

Resposta

  1. As variâncias populacionais entre as duas técnicas são iguais
  2. A Técnica 1 não é mais eficiente com relação ao tempo médio de recuperação
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