Enunciado

Quando o desvio padrão da amostra S se baseia em uma amostra aleatória de uma distribuição normal da população, pode ser demonstrado que

E ( S ) = 2 / ( n - 1 ) Γ ( n / 2 ) σ / Γ ( ( n - 1 ) / 2 )

Use essa equação para obter um estimador não-tendencioso para σ da forma c S . Qual é c quando n = 20 ?

Passo 1

Deixe c = Γ n - 1 2 Γ n 2 ⋅ 2 n - 1 Então E(cS)=cE(S), e c cancela com os dois fatores Γ e o raiz quadrada em E(S), deixando apenas σ. Quando n = 20 , c = Γ ( 9.5 ) Γ ( 10 ) ⋅ 2 19 . Γ ( 10 ) = 9 ! e Γ ( 9.5 ) = ( 8.5 ) ( 7.5 ) … ( 1.5 ) ( . 5 ) Γ ( . 5 ) , mas Γ ( . 5 ) = π .

O cálculo direto dá c=1,0132.

Resposta

c=1,0132.

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