Enunciado

Determine a esperança e a variância da v.a. cuja f.d.p. é

f x = s e n   x ,     0 ≤ x ≤ π 2 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o .

Passo 1

Sabemos que

E X = ∫ Ω x . f x   d x

Substituindo teremos:

E X = ∫ 0 π 2 x . s e n   x   d x

Integrando por partes

u = x → d u = d x

d v = s e n   x → v = - cos ⁡ x

Substituindo em u . v - ∫ v . d u , temos

- x . c o s x + ∫ cos ⁡ x   d x = - x . cos ⁡ x + s e n   x 0 π 2 = - π 2 . cos ⁡ π 2 + s e n π 2 + 0 . c o s 0 - s e n   0

= s e n π 2 = 1  

Passo 2

Para Var(X) utilizaremos a seguinte equação:

V a r X = E X 2 - E X 2

Como já temos E X precisamos agora encontrar E ( X 2 ) :

E X 2 = ∫ 0 π 2 x 2 . s e n   x   d x

Integrando por partes

u = x 2 → d u = 2   d x

d v = s e n   x → v = - cos ⁡ x

Temos

- x 2 . c o s x + 2 ∫ x . cos ⁡ x

Integrando por partes novamente

u = x → d u = d x

d v = cos ⁡ x → v = s e n   x

Temos

- x 2 . cos ⁡ x + 2   [ x . s e n   x - ∫ s e n   x   d x ]

= x 2 . cos ⁡ x + 2 x .   s e n   x + 2 cos ⁡ x   0 π 2 = 2 π 2 . s e n   π 2 = π - 2

Assim teremos que:

V a r X = π - 3

Passo 3

Resposta

E X = 1

V a r X = π - 3

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