Enunciado

Dez halterofilistas disputam uma competição de levantamento de peso por equipes. Destes, 3 são dos EUA, 4 da Rússia, 2 da China e 1 do Canadá. Se a soma de pontos considerar os países

que os atletas representam, mas não as identidades desses atletas, quantos diferentes resultados são possíveis? Quantos resultados diferentes correspondem à situação em que os EUA possuem um atleta entre os três primeiros e 2 entre os três últimos?

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos aprender a contar a quantidade de placares possíveis.

Aqui temos 3 atletas dos EUA, 4 da Rússia, 2 da china e 1 do Canadá totalizando 10 atletas. E queremos saber quantas diferentes pontuações são possíveis para cada país.

Vamos pensar que existem 10 posições, cada uma com uma pontuação diferente. Podemos simplesmente colocar cada um dos atletas em uma dada posição e depois remover as permutações de quando atletas de um mesmo país se permutam entre si. (Note que o enunciado pergunta exclusivamente da pontuação do país e não dos jogadores, então se por exemplo um chinês ficar em primeiro e o outro em ultimo ou ao contrario são o mesmo caso).

Para calcular as permutações totais e depois remover as redundâncias vamos utilizar a formula da permutação de n elementos:

P n = n !

Passo 2

Como temos 10 atletas e queremos saber quantas permutações são possiveis:

10 ! = 3628800

Mas como argumentado a cima, estamos com algumas redundancias neste numero e para remove-las basta dividirmos pelo fatorial de cada redundancia (analogo a formula de permutação com repetição):

10 ! 3 ! 4 ! 2 ! 1 ! = 12600

No final, são possíveis 12600 placares diferentes para os paises.

Passo 3

Agora ele quer saber quantas situações existem com a restrição de que um atleta dos EUA esteja entre os três primeiros e dois estejam entre os três últimos:

Então vamos pensar primeiro nas possibilidades destes atletas americanos.

O atleta que fica nos três primeiros lugares pode ser colocado em qualquer um dos 3 lugares e para os 3 últimos lugares há 3 outras formas de se escolher um lugar para os dois americanos 3 2 .

Passo 4

E agora já escolhemos 3 posições, restando 7 para serem trocadas pelos 7 candidatos restantes e pelo mesmo argumento do passo um eles poderiam ser escolhidos de 7 ! 4 ! 2 ! 1 ! formas diferentes.

Agora que já vimos todas as posições podemos utilizar o Princípio Fundamental da Contagem (PFC) para encontrar a quantidade total de possibilidades. Ele nos diz para multiplicar toda vez que aparecer um “e” em nosso argumento. Então calculando teríamos:

3 ⋅ 3 ⋅ 7 4 ! 2 ! 1 ! = 945

Resposta

a) 12600

b) 945

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