Enunciado

O Problema de Monty Hall. Num programa de TV o objetivo é ganhar um carro como prêmio. O apresentador do programa mostra a você três portas, P1, P2 e P3: atrás de uma há um carro e, das outras, duas cabras. Ele pede a você para escolher uma porta, você escolhe P 1 , mas esta não é aberta. Então, ele abre uma das outras duas portas e mostra uma cabra (ele sabe o que há atrás de cada porta). Então ele pergunta se você quer mudar sua escolha de porta. O que você faria?

[Sugestão: Solução informal: Faça a árvore de possibilidades. Solução formal: seja G o evento: ganhar o carro, mudando sua escolha. Seja C i   o evento: carro está atrás da porta P i ,   i   =   1 ,   2 ,   3 e seja H i o evento: apresentador abriu a porta P i , i = 1 ,   2,3 . Escreva G como uma reunião disjunta de dois eventos e use ( 5.8 ) . ]

Passo 1

Para solucionar este problema, é preciso observar, inicialmente, que o apresentador sabia o que havia por trás de cada porta. Assim, vamos ilustrar a situação:

No início, havia 1 / 3 de probabilidade de o participante ganhar o carro.

Como o apresentador irá abrir uma porta que não contem o prêmio, esta probabilidade não muda inicialmente.

Suponhamos que o participante tenha escolhido a porta de número 1 .

Neste momento a probabilidade de o participante não ganhar o prêmio, ou seja, a probabilidade de o prêmio estar atrás das portas 2   ou 3 é de 2 / 3 .

Independente do fato de Monty Hall abrir a porta 2 ou a 3 , a probabilidade de que haja um bom prêmio por trás de uma destas portas continua sendo 2 / 3 .

Portanto, suponha que o apresentador abra a porta de número 3 e mostre que há uma cabra atrás dela.

Agora, o participante tem que decidir entre permanecer com a porta de número 1 , sua escolha inicial ( 1 / 3 de probabilidade de ganhar o prêmio), ou trocar pela porta de número   2 , do conjunto formado pelas portas não escolhidas e de probabilidade 2 / 3 de ocultar o carro.

Trocando de porta, a probabilidade de ganhar o prêmio é 2 vezes maior.

Resposta

Assim, concluímos o desejado.

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