Enunciado

Distribuição amostral da diferença de duas médias. Consideremos duas populações X com parâmetros μ 1   e   σ 1 2   e Y com parâmetros μ 2   e   σ 2 2 . Sorteiam-se duas amostras independentes: a da primeira população de tamanho n e a da segunda de tamanho m. Calculam-se as médias amostrais X - e Y - .

(a) Qual a distribuição amostral de X - ? E Y - ?

(b) Defina   D = X - - Y - . O que você entende por distribuição amostral de D?

(c) Calcule E(D) e Var(D).

(d) Como você acha que será a distribuição de D? Por quê?

Passo 1

(a) Qual a distribuição amostral de X - ? E Y - ?

Vamos lembrar o que o Teorema do Limite Central nos diz?

“Para amostras aleatórias simples ( X 1 ,   . . . ,   X n ) , retiradas de uma população com média μ e variância σ 2 finita, a distribuição amostral da média X - aproxima-se, para n grande, de uma distribuição normal, com média μ e variância σ 2   / n .”

Logo, pelo TCL, para n e m grandes: X - ~ N μ 1 ; σ 1 2 n e Y - ~ N μ 2 ; σ 2 2 n . Caso X e Y tiverem distribuição normal essas distribuições serão exatas 😉.

Passo 2

(b) Defina   D = X - - Y - . O que você entende por distribuição amostral de D?

Como são sorteadas duas amostras independentes: a da primeira população de tamanho n e a da segunda de tamanho.

D é a distribuição das diferenças entre as médias de todos os possíveis pares de amostras de X e Y com tamanhos n e m, respectivamente.

Passo 3

(c) Calcule E(D) e Var(D).

Sabemos que D = X - - Y - , certo?

Pelo Teorema 10.1, temos

Seja X   uma v.a. com média μ e variância σ 2 , e seja ( X 1 ,   . . . ,   X n ) uma AAS de X . Então,

E X - = μ           e           V a r X - = σ 2 n

Logo,

E D = E X - - E Y - = μ 1 - μ 2 ;       V a r D = V a r X - + V a r Y - = σ 1 2 n + σ 2 2 m

Passo 4

(d) Como você acha que será a distribuição de D? Por quê?

Normal, com média e variância dadas em (c), pois D é uma diferença entre variáveis com distribuição (aproximadamente) normal.

Resposta

(a) Pelo TLC X - ~ N μ 1 ; σ 1 2 n e Y - ~ N μ 2 ; σ 2 2 n .

(b) D é a distribuição das diferenças entre as médias de todos os possíveis pares de amostras de X e Y com tamanhos n e m, respectivamente.

(c) E D = μ 1 - μ 2 ;       V a r D = σ 1 2 n + σ 2 2 m

(d) Normal, com média e variância dadas em (c), pois D é uma diferença entre variáveis com distribuição (aproximadamente) normal.

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