Enunciado

A distribuição dos salários (em salários mínimos) de operários do sexo masculino de uma grande fábrica é N ~ ( 5,4 ; 1,69 ) , e a de operários do sexo feminino é N ~ ( 5,4 ; 2,25 ) . Sorteiam-se duas amostras, uma com 16 homens e outra com 16 mulheres. Se D for a diferença entre o salário médio dos homens e das mulheres:

(a) Calcule P ( D > 0,5 ) .

(b) Qual o valor de d tal que P ( | D | > d )   =   0,05 ?

(c) Que tamanho comum deveriam ter ambas as amostras para que P ( | D | > 0,4 )   =   0,05 ?

Passo 1

Primeiro, vamos lembrar o que o Teorema do Limite Central nos diz?

“Para amostras aleatórias simples ( X 1 ,   . . . ,   X n ) , retiradas de uma população com média μ e variância σ 2 finita, a distribuição amostral da média X - aproxima-se, para n grande, de uma distribuição normal, com média μ e variância σ 2   / n .”

Mas n 1 = n 2 = 16 não é um número grande. 😐

O bizu é lembrar que, SE A POPULAÇÃO FOR NORMAL, ENTÃO X - TERÁ DISTRIBUIÇÃO EXATA NORMAL.

Logo, pelo TCL: X - ~ N μ 1 ; σ 1 2 n 1 e Y - ~ N μ 2 ; σ 2 2 n 2 .

Passo 2

(a) Calcule P ( D > 0,5 ) .

Sabemos que X - ~ N 5,4 ; 1,69 16 ; Y - ~ N 5,4 ; 2,25 16 e D é a diferença entre o salário médio dos homens e das mulheres.

Portanto,

D ~ N μ 1 - μ 2 ; σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 → D ~ N 0 ; 3,94 16

Sabemos que

Z = X - - μ . n σ ~ N ( 0,1 )

Logo,

Z = 0,5 - 0 . 16 3,94 = 1,01

Pela Tabela Normal temos,

P D > 0,5 = P D < - 0,5 + P D > 0,5 =

= P Z > 1,01 = P Z < - 1,01 + P Z > 1,01 = 0,3124 = 31,24 %

Passo 3

(b) Qual o valor de d tal que P ( | D | > d )   =   0,05 ?

Agora temos o valor da probabilidade e precisamos calcular o valor de d .

P D > d = 0,05 → P D < - d = 0,025 → d = 0,973

Passo 4

(c) Que tamanho comum deveriam ter ambas as amostras para que P ( | D | > 0,4 )   =   0,05 ?

Usando a mesma fórmula das letras (a) e (b), temos

P ( D > 0,4 = 0,05 → P - 0,4 ≤ D ≤ 0,4 = 0,95 → 0,4 . n 3,94 = 1,96 → n = 95

Resposta

(a) 31,24%

(b) d = 0,973

(c) n = 95

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