Enunciado

Distribuição amostral da diferença de duas proporções. Usando os resultados do Problema 32, qual seria a distribuição de p ^ 1 - p ^ 2 , a diferença entre as proporções de amostras independentes retiradas de populações com parâmetros p 1 e p 2 ?

Passo 1

Direto ao ponto, esses foram os resultados obstidos no Problema 32:

(a) Pelo TLC X - ~ N μ 1 ; σ 1 2 n e Y - ~ N μ 2 ; σ 2 2 n .

(b) D é a distribuição das diferenças entre as médias de todos os possíveis pares de amostras de X e Y com tamanhos n e m, respectivamente.

(c) E D = μ 1 - μ 2 ;       V a r D = σ 1 2 n + σ 2 2 m .

(d) D ~ N μ 1 - μ 2 ; σ 1 2 n + σ 2 2 m .

Diferente do Problema 32, onde queríamos a distribuição amostral da diferença de duas médias, agora queremos a distribuição amostral da diferença de duas PROPORÇÕES!!!

Vamos usar o TLC e matar essa questão?

Passo 2

Pelo TLC, X - terá distribuição aproximadamente normal, com média p e variância p 1   –   p n , ou seja,

p ^ ~ N p , p p - 1 n

Se vocês quiserem saber mais como chegar nessa aproximação, a explicação se encontra na seção 9.10, beleza? 😉

Trazendo para o nosso problema temos,

p ^ 1 ~ N p 1 , p 1 p 1 - 1 n ;       p ^ 2 ~ N ( p 2 , p 2 p 2 - 1 m

Logo

p ^ 1 - p ^ 2 ~ N ( p 1 - p 2 ; p 1 p 1 - 1 n + p 2 p 2 - 1 m

Resposta

p ^ 1 - p ^ 2 ~ N ( p 1 - p 2 ; p 1 p 1 - 1 n + p 2 p 2 - 1 m

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