Enunciado

Um distribuidor de gasolina tem capacidade de receber, nas condições atuais, no máximo a 3 caminhões por dia; se chegarem mais que 3 caminhões, o excesso deve ser enviado a outro distribuidor e, neste caso, há uma perda média de Cr$ 2.000,00 por dia em que não se pode aceitar todos os caminhões. Sabendo-se que o número de caminhões que chegam diariamente obedece à distribuição de Poisson de média 2, calcular:

  1. a probabilidade de chegarem de 3 a 5 caminhões no total de 2 dias;
  2. a probabilidade de, num certo dia, ter-se que mandar caminhões para outro distribuidor;
  3. a perda média mensal (30 dias) devido a caminhões que não puderam ser aceitos no dia;
  4. de quanto devem crescer as atuais condições, para permitir que se recebam todos os caminhões que chegam, no mínimo em 90% dos dias.

Passo 1

Olá pessoal. Vem comigo!

Seja p a probabilidade de ocorrer um sucesso, portanto ( 1 - p ) a probabilidade de ocorrer um insucesso, em cada prova. Nas n provas a probabilidade de ocorrer sucessos é:

P x = n ! x ! n - x ! ∙ p x ∙ ( 1 - p ) n - x

Relembrando que a Distribuição de Poisson é aplicável quando o número de possíveis ocorrências discretas é muito maior que o número médio de ocorrências em um determinado intervalo de tempo ou espaço. A expressão de P x para distribuição de Poisson:

P x = μ x x ! ∙ e - μ

Do enunciado sabemos:

μ = 2

Para o item a) queremos descobrir a probabilidade de chegarem de 3 a 5 caminhões no total de 2 dias. Então iremos usar a equação:

P x = λ x x ! ∙ e - λ

Onde:

  • λ média de eventos em um intervalo de tempo, área ou volume, ou ainda a taxa média de ocorrência por unidade medida
  • Então, para 2 dias:

    λ = 2 ∙ μ = 2 ∙ 2 = 4

  • Para 3 caminhões:
  • P 3 = 4 3 3 ! ∙ e - 4 = 0,195

  • 4 caminhões:
  • P 4 = 4 4 4 ! ∙ e - 4 = 0,195

  • E 5 caminhões:
  • P 5 = 4 5 5 ! ∙ e - 4 = 0,156

    Portanto a probabilidade de chegarem de 3 a 5 caminhões no total de 2 dias é:

    P = P 3 + P 4 + P ( 6 ) ∙ 100 % = ( 0,195 + 0,195 + 0,156 ) ∙ 100 %

    P = 54,6 %

    Passo 2

    No item b) queremos a probabilidade de, num certo dia, ter-se que mandar caminhões para outro distribuidor, então queremos saber a probabilidade para P ( x > 3 ) . Vamos calcular os valores para P ( x ≤ 3 ) .

  • Para nenhum caminhão:
  • P 0 = μ x x ! ∙ e - μ = 2 0 0 ! ∙ e - 2 = 0,135

  • 1 caminhão:
  • P 1 = 2 1 1 ! ∙ e - 2 = 0,271

  • 2 caminhões
  • P 2 = 2 2 2 ! ∙ e - 2 = 0,271

  • E 3 caminhões:
  • P 3 = 2 3 3 ! ∙ e - 2 = 0,180

    A probabilidade é:

    P = 1 - P 0 + P 1 + P 2 + P 3 = 1 - 0,135 + 0,271 + 0,271 + 0,180

    P = 0,143 ∙ 100 % = 14,3 %

    Passo 3

    No item c) queremos saber a perda média mensal devido a caminhões que não puderam ser aceitos no dia:

    E Y = n ∙ p = 2000 ∙ 30 ∙ 0,143 = C r $   8580,00

    Passo 4

    E por fim, no item d) queremos uma probabilidade de no mínimo 90%. No Passo 1 calculamos a probabilidade para até 3 caminhões:

  • P 0 = 0,135 ;
  • P 1 = 0,271 ;
  • P 2 = 0,271 ;
  • P 3 = 0,180 .

Onde a soma é:

P x ≤ 3 = 0,857 = 85,7 %

Mas queremos para no mínimo 90%, fazendo o cálculo para 4 caminhões:

P 4 = 2 4 4 ! ∙ e - 2 = 0,090

Quando somamos ao valor 0,857:

P x ≤ 4 = 0,857 + 0,090 = 94,7 %

Então, o distribuidor de gasolina tem que receber até 4 caminhões por dia para que as atuais condições sejam no mínimo 90%.

Tchau galerinha! Te espero em mais exercícios.

Resposta

  1. P = 54,6 % ;
  2. P = 14,3 % ;
  3. C r $   8580,00 ;
  4. Receber até 4 caminhões por dia.

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