Enunciado

Duas bombas ligadas em paralelo falham independentemente uma da outra em um determinado dia. A probabilidade de que apenas a bomba mais antiga apresente falha é de 0,10 e a probabilidade de que apenas a bomba mais nova o faça é de 0,05. Qual é a probabilidade de que o sistema de bombas apresente uma falha em um determinado dia (que acontece se houver falha em ambas as bombas)?

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos considerar os seguintes eventos:

A = {falha a bomba mais antiga};

B = {falha a bomba mais recente}.

Nos é dado que:

P ( A ∩ B ' )   =   0,1

P ( B ∩ A ' )   =   0,05

Ou igualmente,

P ( A ) - P ( A ∩ B )   =   0,1

P ( B ) - P ( A ∩ B )   =   0,05

Precisamos encontrar P(A∩B), o que podemos fazer usando a propriedade da multiplicação.

Propriedade da multiplicação:

Dois eventos A e B são independentes se e somente se P ( A ∩ B )   =   P ( A ) ⋅ P ( B )

Digamos que   x   =   P ( A ∩ B ) , temos

P ( A )   =   0,1 + x ;

P ( B )   =   0,05 + x ;

Passo 2

Usando a propriedade de multiplicação, temos que:

P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ) = ( 0,1 + x ) ⋅ ( 0,05 + x )

de onde obtemos a seguinte uma equação quadrática: x ² - 0,85 ⋅ x + 0,005 = 0

Tal equação nos leva às seguintes soluções:

x 1 =   0.8441     e     x 2 =   0.0059

​ Para cada dois eventos A e B, tal que:

P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A ∩ B )

Para x 1 =   0.8441   temos,

P ( A ∪ B ) = 0,1 + 0,8441 + 0,05 + 0,8441 - 0,8441 = 0,9941

E se assumirmos x 2 =   0.0059 , temos,

P ( A ∪ B ) = 0,1 + 0,0059 + 0,05 + 0,0059 - 0,0059 = 0,1559

Ambas são soluções possíveis pois P A ∪ B ≤ 1 .

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

P A ∩ B = 0.8441 ou P A ∩ B = 0.0059

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que um amigo seu com mente não matemática, porém filosófica, afirme que a regra de sucessão de Laplace deve estar incorreta porque ela pode levar a conclusões ridículas. "Por exemplo”,' ele di
Em um jogo de bridge, Oeste não tem ases. Qual é a probabilidade de que seu parceiro (a) não tenha ases? (b) tenha 2 ou mais ases? (c) Quais seriam as probabilidades se Oeste tivesse exatamente 1 ás?
A urna A contém duas bolas brancas e uma bola preta, enquanto a urna B contém uma bola branca e 5 bolas pretas. Uma bola é aleatoriamente retirada da urna A e colocada na urna B. Uma bola é então sort
O Sr. Jonas bolou um sistema de apostas para vencer na roleta. Quando ele joga, ele aposta no vermelho, mas ele faz essa aposta somente após as 10 rodadas anteriores terem dado números pretos. Ele pen
Sorteiam-se bolas de uma urna que contém inicialmente 20 bolas vermelhas e 10 bolas azuis. (a) Qual é a probabilidade de que todas as bolas vermelhas sejam retiradas antes de todas as azuis? Agora sup