Enunciado

Na eleição presidencial americana de 2004, a apuração no estado crítico de Ohio forneceu os seguintes resultados:

Se um eleitor, selecionado aleatoriamente, tiver votado em Bush, qual é a probabilidade de que a pessoa tenha um grau superior?

Passo 1

Bom, falando sobre o teorema de Bayes, para A 1 ,   A 2 , . . . ,   A n , eventos mutuamente exclusivos e U n i = 1 A i = Ω as probabilidades anteriores são P ( A i ) ,   i = 1,2 , . . . , n ) . Se B é um evento para o qual P ( B ) > 0 , então a probabilidade posterior de A , dado que B ocorreu é:

P ( A j | B ) = P ( A j ∩ B ) P ( B ) = P ( B | A j ) P ( A j ) ∑ i = 1 n P ( B | A i ) P ( A i ) ,   j = 1,2 , . . . , n

Passo 2

A probabilidade do evento

B = entrevistado selecionado aleatoriamente votou em Bush

pode ser calculado usando a lei da proposição de probabilidade total dada abaixo:

A lei da probabilidade total é o seguinte: Se A 1 ,   A 2 ,   . . . ,   A n são mutuamente exclusivos, e U n i = 1 A i = S ( = Ω ) , então para qualquer evento B , o seguinte é verdadeiro:

P ( B ) = P ( B | A 1 ) P ( A 1 ) + P ( B | A 2 ) P ( A 2 ) + . . . + P ( B | A n ) P ( A n )

Passo 3

Os eventos A i ,   i = 1,2 são definidos como:

A 1 = o entrevistado selecionado aleatoriamente não possui um terceiro grau,

A 2 = o entrevistado selecionado aleatoriamente tem pós graduação,

que são mutuamente exclusivos e contêm todos os resultados possíveis, ou seja, a união

é S . Então, a probabilidade do evento B é:

P ( B ) = P ( B | A 1 ) P ( A 1 ) + P ( B | A 2 ) P ( A 2 ) = 0.50 × 0.62 + 0.53 × 0.38   ≈   0.5114

Pelo Teorema de Bayes, segue-se agora que a probabilidade de evento A 1 | B (o entrevistado tem uma condição de ter terceiro grau que votou em Bush), é dado por

P ( A 1 | B ) = P ( A 1 ∩ B ) P ( B ) = P ( B | A 1 ) P ( A 1 ) ∑ i = 1 n P ( B | A i ) P ( A i )   ≈   0.39

Resposta

0.39

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