Enunciado

Um inspetor, que trabalha para uma companhia de manufatura, tem uma chance de 99% de identificar corretamente itens defeituosos e uma chance de 0,5% de classificar incorretamente um item bom como sendo defeituoso. A companhia tem evidência de que sua linha produz 0,9% de itens não conformes.

  1. Qual é a probabilidade de um item selecionado para inspeção ser classificado como defeituoso?
  2. Se um item selecionado ao acaso for classificado como não defeituoso, qual é a probabilidade de que ele seja realmente bom?

Passo 1

Vamos dizer que:

A 1 = o item está com defeito,

A 2 = o item não está com defeito,

B = identificado como defeituoso,

B ' = identificado como não defeituoso.

Passo 2

Na letra a:

Em (a), a probabilidade do evento B é necessária. Vamos calcular, usando a lei da probabilidade total dada abaixo:

Aliás, a lei da probabilidade total é o seguinte: Se A 1 ,   A 2 ,   . . . ,   A n são mutuamente exclusivos, e U n i = 1 A i = S ( = Ω ) , então para qualquer evento B , o seguinte é verdadeiro:

P ( B ) = P ( B | A 1 ) P ( A 1 ) + P ( B | A 2 ) P ( A 2 ) + . . . + P ( B | A n ) + P ( A n ) =

= ∑ i = 1 n P ( B | A i ) P ( A i )

As probabilidades de P ( B | A i ) ,   P ( A i ) i = 1,2 , 3 são dadas no exercício. A união de todos os eventos A i i = 1,2 , 3,4 , 5 nos dá Ω e são mutuamente exclusivos, conseqüentemente, pela lei da probabilidade total, temos:

P ( B ) = P ( B | A 1 ) P ( A 1 ) + P ( B | A 2 ) P ( A 2 ) = 0.99 × 0.009 + 0.005 × 0.991   ≈   0.014

Passo 3

Na letra b:

Aqui, a probabilidade do evento A 2 | B ' é necessária. Para calcular isso, o teorema de Bayes pode ser usado como a união de todos os eventos A i , i = 1,2 , 3,4 , 5 nos dá Ω e eles são mutuamente exclusivos.

Aliás, falando sobre o teorema de Bayes, para A 1 ,   A 2 , . . . ,   A n , eventos mutuamente exclusivos e U n i = 1 A i = Ω as probabilidades anteriores são P ( A i ) ,   i = 1,2 , . . . , n ) . Se B é um evento para o qual P ( B ) > 0 , então a probabilidade posterior de A , dado que B ocorreu é:

P ( A j | B ) = P ( A j ∩ B ) P ( B ) = P ( B | A j ) P ( A j ) ∑ i = 1 n P ( B | A i ) P ( A i ) ,   j = 1,2 , . . . , n .

Então, é verdade que:

P ( A 2 | B ' ) = P ( A 2 ∩ B ' ) P ( B ' ) = P ( B ' | A 2 ) P ( A 2 ) 1 - P ( B ) ≈ 0.99

Onde (a) e (b) são usados.

Resposta

  1. P ( B )   ≈   0.014
  2. P ( A 2 | B ' )   ≈   0.99
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