Enunciado

Uma empresa de consultoria educacional está tentando decidir se alunos de ensino médio que nunca usaram uma calculadora podem resolver um tipo de problema mais facilmente com uma calculadora que usa lógica polonesa reversa ou com uma que não a usa. Uma amostra de 25 alunos é selecionada e eles podem praticar em ambas as calculadoras. Então, cada aluno é solicitado a resolver um problema com a calculadora polonesa reversa e um similar com a outra. Seja p =   P ( S ) , onde S indica que o aluno resolveu o problema mais rapidamente com a lógica polonesa reversa do que com a outra e seja X =   n ú m e r o   d e   S ' s

a. Se p =   0,5 , qual é P ( 7   ≤   X   ≤   18 ) ?

b. Se p =   0,8 , qual é P ( 7   ≤   X   ≤ 18 ) ?

c. Se a Hipótese p =   0,5 for rejeitada quando X ≤ 7 ou X   ≥ 18 , qual é a probabilidade de rejeitar a hipótese quando ela estiver correta?

d. Se a decisão de rejeitar a hipótese p = 0,5 for como na parte (c), qual é a probabilidade de ela não ser rejeitada quando p =   0,6 ? E quando p = 0,8 ?

e. Que regra de decisão você escolheria para rejeitar a hipótese p =   0,5 se você quisesse que a probabilidade da parte c) fosse no máximo 0,01

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício, vem comigo!

Começamos pelo princípio, vamos definir umas coisas antes.

Podemos modelar nossa variável aleatória X, como uma binomial. Primeiro, lembremos como funciona a modelação com binomial.

b n ; x ; p = n x p x q n - x

No nosso caso, temos x = 25 .

Logo:

b x ; 25 ; p .

Vamos ao item a)

Queremos P 7   ≤   X   ≤   18 , podemos resolver da seguinte maneira.

P 7   ≤   X   ≤   18 = b 18 ; 25 ; 0.5 - b ( 6 ; 25 ; 0.5 )

Assim,

P 7   ≤   X   ≤   18 = 18 25 0.5 18 0.5 7 - 6 25 0.5 6 0.5 19 = 0.986

Passo 2

Vamos ao item b)

Para isso, faremos um processo semelhante ao feito no item a) com a única mudança que p = 0.8 . Assim,

P ( 7   ≤   X   ≤ 18 )

Logo

P 7   ≤   X   ≤   18 = b 18 ; 25 ; 0 . 8 - b ( 6 ; 25 ; 0 . 8 )

Que podemos reescrever da seguinte maneira:

P 7   ≤   X   ≤   18 = 18 25 0 . 8 18 0 . 2 7 - 6 25 0 . 8 6 0 . 2 19 = 0.220

Passo 3

Agora, partindo ao item c)

Nesse item queremos saber a probabilidade de rejeitar a hipótese quando ela estiver correta.

A Hipótese está correta quando X ≤ 7 ou X ≥ 18 .

Assim, queremos:

P X ≤ 7 + P X ≥ 18

Usando binomial, podemos concluir que:

  P X ≤ 7 + P X ≥ 18 = 0.022 + 1 - 0.978 = 0.022 + 0.022 = 0.044

Passo 4

Fazendo o item d)

Nesse item, veremos que a reclamação não será rejeitada quando 8 ≤ X ≤ 17 .

Vamos analisar os dois casos, p = 0.6 e p = 0.8 .

Analisando o primeiro caso, com p = 0.6 , temos:

P 7   ≤   X   ≤   18 = b 17 ; 25 ; 0.6 - b ( 7 ; 25 ; 0.6 )

Lembrando que b n ; x ; p = n x p x q n - x

Teremos:

P 7   ≤   X   ≤   18 = 0.846 - 0.001 = 0.845

Agora com p = 0.8 , temos:

Analisando o primeiro caso, com p = 0.6 , temos:

P 7   ≤   X   ≤   18 = b 17 ; 25 ; 0 . 8 - b ( 7 ; 25 ; 0 . 8 )

Lembrando que b n ; x ; p = n x p x q n - x

Teremos:

P 7   ≤   X   ≤   18 = 0.109 - 0.000 = 0.109

Passo 5

Por fim, indo ao item e)

Neste último item queremos que P r e j e i t a n d o   a   a f i r m a ç ã o = 0.01 . Usando a regra de decisão “rejeitar se X = 6   o u   X ≥ 19 ” nos dá uma probabilidade de 0.14, o valor transcende o que queremos. Logo, podemos usar a regra de decisão “rejeitar se X = 5   o u   X ≥ 20   assim P r e j e i t a n d o   a   a f i r m a ç ã o = 0.002 + 0.002 = 0.004 , um valor que é aceitável, visto nosso pedido.

Resposta

a) P 7   ≤   X   ≤   18 = 0.986

b)   P 7   ≤   X   ≤   18 = 0.220

c) P X ≤ 7 + P X ≥ 18 = 0.044

d)   P 7   ≤   X   ≤   18 = 0.845   e   P 7   ≤   X   ≤   18 = 0.109

e) podemos usar a regra de decisão “rejeitar se X = 5   o u   X ≥ 20

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