Enunciado

Um plano de fidelidade de viagens de executivos foi desenvolvido por uma companhia aérea sob a premissa de que 10% de seus clientes atuais se qualificariam para participar.

a. Admitindo a validade dessa premissa, entre 25 clientes atuais selecionados aleatoriamente, qual é a probabilidade de entre 2 e 6 (inclusive) se qualificarem para o programa?

b. Admitindo novamente a validade da premissa, qual é o número esperado de clientes que se qualificam e o desvio padrão do número dos que se qualificam em uma amostra aleatória de 100 clientes?

c. Seja X o número em uma amostra de 25 clientes atuais que se qualificam para o programa. Considere rejeitar a premissa da empresa na hipótese de p   > 0,10 se x   ≥ 7 . Qual é a probabilidade de a premissa da empresa ser rejeitada quando for válida?

d. Refira-se à regra de decisão apresentada na parte (c). Qual é a probabilidade de a premissa da empresa não ser rejeitada mesmo que p =   0,20 (ou seja, 20% se qualificam)?

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício, vem comigo!

Vamos logo de cara resolver o item a)

A principio vamos usar a binomial para modelar o nosso problema.

X   ~   b ( x ; 25,0.1 )

Como queremos 2 ≤ X ≤ 6 , teremos o seguinte:

P 2 ≤ X ≤ 6 = b 6 ; 25 ; 0.1 - b ( 1 ; 25 ; 0.1 )

Lembrando que b n ; x ; p = n x p x q n - x

Teremos:

P 2 ≤ X ≤ 6 = 0.991 - 0.271 = 0.720

Passo 2

Vamos ao item b)

Nesse item queremos o valor esperado da variável aleatória X e o desvio padrão da nossa variável.

Assim:

E X = n p = 25 0.1 = 2.5

E o nosso desvio-padrão pode ser calculado com a seguinte fórmula:

σ X = n p q = 25 0.1 0.9 = 2.25 = 1.5

Passo 3

Agora, partindo ao item c)

Vamos calcular P ( X ≥ 7   q u a n d o   p = 0.1 )

Assim, teremos:

P X ≥ 7   q u a n d o   p = 0.1 = 1 - b 6 ; 25 ; 0.1

Lembrando que b n ; x ; p = n x p x q n - x

Temos:

P X ≥ 7   q u a n d o   p = 0.1 = 1 - 0.991 = 0.009

Passo 4

Por fim, fazendo o item d)

Neste último item iremos trabalhar com P ( X ≤ 6   q u a n d o   p = 0.2 )

Assim, teremos:

b 6 ; 25 ; 0.2

Lembrando que

b n ; x ; p = n x p x q n - x

Temos:

P X ≤ 6   q u a n d o   p = 0.2 = 0.780

Resposta

a) P 2 ≤ X ≤ 6 = 0.991 - 0.271 = 0.720

b) E X = 2.5   e   σ X = 1.5

c) P X ≥ 7   q u a n d o   p = 0.1 = 0.009

d) P X ≤ 6   q u a n d o   p = 0.2 = 0.780

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