Enunciado

Sua empresa deve enviar uma proposta lacrada para um projeto de construção. Se você ganhar o contrato (por fazer a proposta mais barata), você pretende pagar a uma outra firma 100 mil reais para que ela faça o serviço. Se você acredita que a menor oferta (em milhares de reais) das outras empresas participantes pode ser modelada como uma variável aleatória uniformemente distribuída em (70, 140), que proposta você deve fazer para maximizar o seu lucro esperado?

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Show, no caso, para encontrarmos a proposta que vai maximizar o lucro esperado, temos que usar a função densidade:

f x = 1 b - a

Pelo enunciado, nos é dito que a = 70   e   b = 140 , então:

f x = 1 140 - 70 = 1 70

Ok, mas temos que lembrar aqui que se trata de uma proposta lacrada, então ainda não sabemos exatamente quanto gastaremos para ganhar o projeto. Vamos dizer que o no lance inicial vai ser de x , então:

L u c r o = ( x - 100 )

Lembrando que pelo enunciado, a gente pretende a pagar até 100 mil reais. Neste caso, o lucro esperado vai ser:

E P = x - 100 140 - x 70

E P = ( - x 2 + 240 x - 14000 ) 70

Opa, já achamos uma função aqui, queremos o lucro máximo certo? Então precisamos derivar ela.

Passo 2

Beleza, vamos derivar a nossa função:

E P = ( - x 2 + 240 x - 14000 ) 70

E ' P = - 2 x + 240 70

Ok, agora temos que achar o ponto crítico dela:

E ' P = - 2 x + 240 70 = 0

- 2 x + 240 = 0

x = 120

Opa, achamos aqui o valor de x que faz a função atingir seu valor máximo, agora vamos verificar qual vai ser esse valor:

E P = x - 100 140 - x 70

E P = 120 - 100 140 - 120 70 = 40 7

Resposta

E P = 40 7

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