Enunciado

Encontre a densidade de Z = X/Y, se X e Y são independentes, com densidades f(x) =   e – x , x > 0 e f(y) =   2 e – 2 y , y > 0.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para pegar o que aconteceu lá na combinação das variáveis e encontrar a densidade. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser lembrar a achar a função que junte as duas v.a. X e Y.

f x , y = 2 e – 2 y - x

A matriz do Jacobiano que leva a nossa função (x,y) para (z,w), com Z = X/Y e W =Y é:

J =   ∂ x ∂ z ∂ x ∂ w ∂ y ∂ z ∂ y ∂ w

J =   w z 0 1 = w

Logo, g z , w = 2 w e - w ( z + 2 )  

Passo 3

Pronto!! Agora é só calcular a distribuição marginal em w!!

g z =   ∫ g z , w d w

g z =   ∫ 2 w e - w ( z + 2 ) d z

g z = 2 z + 2 2

Resposta

g z = 2 z + 2 2

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