Enunciado

Estão sendo abertas 70 novas vagas de emprego em uma fábrica de automóveis, mas 1.000 candidatos surgem para essas vagas. Para selecionar os 70 melhores entre os candidatos, a empresa distribui um teste que abrange conhecimentos de mecânica, destreza manual e habilidade matemática. A nota média desse teste é 60 e a pontuação tem um desvio-padrão igual a 6. Uma pessoa que conseguiu uma pontuação 84 pode contar que conseguiu uma das vagas? [Sugestão: use o teorema de Chebyshev.] Assuma que a distribuição de probabilidade seja simétrica em torno da média.

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Vamos usar X como a variável aleatória que representa a pontuação do teste de alguma pessoa. No problema nos foi dado que μ X = 60 e σ X = 6 .

O teorema de Chebyshev nos diz que para uma variável aleatória X e uma constante k , nós temos:

P μ X - k σ X ≤ X ≤ μ X + k σ X ≥ 1 - 1 k 2

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

No exemplo dado, o teorema de Chebyshev se encaixa da seguinte forma:

P 60 - 6 k ≤ X ≤ 60 + 6 k ≥ 1 - 1 k 2

Por causa da simetria da distribuição em torno da média, nós temos que P X > 84 = P X < 36 .

Para k = 4 temos 60 + 4 k = 84 , então, inserindo isso no teorema de Chebyshev:

P 36 ≤ X ≤ 84 ≥ 1 - 1 4 2 = 15 16

Portanto, seguindo:

P X > 84 + P X < 36 = 1 - P 36 ≤ X ≤ 84 ≤ 1 - 15 16           →             2 P X > 84 = 1 / 16

P X > 84 ≤ 1 32 = 0,03125 < 0,07

Como a empresa está contratando os 7% melhores e a probabilidade observada é ≤ 3,5 % , a pessoa com pontuação 84 pode contar com um emprego.

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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