Enunciado

Estimador Consistente. Uma outra maneira de média a proximidade de um estimador Θ ^ com o parâmetro θ é em termos da consistência. Se Θ ^ n for um estimador de θ baseado em uma amostra aleatória de n observações, então Θ ^ n é consistente para θ se

l i m n → ∞ P ( | Θ ^ n - θ | < ϵ ) = 1

Assim, a consistência é uma propriedade para amostras grandes, descrevendo o comportamento limite de Θ ^ n , à medida que n tende a infinito. É geralmente difícil provar a consistência usando a definição anterior, embora isso possa ser feito a partir de outras abordagens. Para ilustrar, mostre que X é um estimador consistente de μ (quando σ 2 < ∞), usando a desigualdade de Chebyshev, a partir do material suplementar na internet.

Passo 1

A média da amostra X _ = ∑ i = 1 n X i n , e a variância da amostra V ( X _ ) a desigualdade de Chebyshev é P ( | X _ - μ | < ε ) ≥ 1 - V ( X _ ) ε 2 , Então,

l i m n → ∞ P ( | X _ - μ | < ϵ ) ≥ l i m n → ∞ ( 1 - V ( X _ ) ϵ 2 )

Vamos determinar V ( X _ ) :

V ( X _ ) = V ∑ i = 1 n X i n = σ 2 n

Passo 2

Então, nós temos:

l i m n → ∞ P ( | X _ - μ | < ϵ ) ≥ l i m n → ∞ ( 1 - V ( X _ ) ϵ 2 )

l i m n → ∞ P ( | X _ - μ | < ϵ ) ≥ l i m n → ∞ ( 1 - σ 2 n ϵ 2 )

l i m n → ∞ P ( | X _ - μ | < ϵ ) ≥ 1

Porque, a probabilidade é sempre menor ou igual a 1, l i m n → ∞ P ( | X _ - μ | < ε ) = 1 e X _ é o estimador consistente de μ .

Resposta

Porque, a probabilidade é sempre menor ou igual a 1, l i m n → ∞ P ( | X _ - μ | < ε ) = 1 e X _ é o estimador consistente de μ .

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