28. Numa determinada localidade, a distribuição de renda (em reais) é uma v.a. X com f.d.p

f x = 1 10 x + 1 10 ,     0 ≤ x ≤ 2 - 3 40 x + 9 20 ,     2 ≤ x ≤ 6 0 ,     x < 0   o u   x > 6

(a) Qual a renda média nessa localidade?

(b) Escolhida uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de sua renda ser superior a $ 3000,00 ?

(c) Qual a mediana da variável?

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Temos uma variável aleatória contínua X com densidade

f ( x ) = 1 10 x + 1 10 , 0 ≤ x ≤ 2 , - 3 40 x + 9 20 , 2 ≤ x ≤ 6 , 0 , caso contr a ˊ rio.

Queremos: (a) a esperança (renda média) E X ; (b) P X > 3 ; (c) a mediana de X .

Como vamos resolver isso?

Vamos usar integrais porque X é contínua.Probabilidades são integrais da densidade no intervalo pedido.A mediana m é a solução de F m = 1 / 2 , onde F é a função distribuição acumulada — montamos F por integração por partes do suporte.Bora calcular por partes, integrando de 0 a 2 e de 2 a 6 .

Os conceitos e fórmulas que temos que lembrar são:

  • Para variável contínua
  • E [ X ] = ∫ - ∞ ∞ x f x   d x

  • Probabilidade em intervalo:
  • P ( a ≤ X ≤ b ) = ∫ a b f x   d x

  • Função distribuição:
  • F x = ∫ - ∞ x f t   d t

    A mediana m satisfaz F m = 0.5 .

  • Quando a densidade é dada por partes, somamos as integrais correspondentes em cada tramo do suporte.

Agora a gente pode começar!

Passo 2

Primeiro verificamos rapidamente que f é de fato uma densidade (integra em 1).

Calculamos as integrais nos dois trechos:

Primeiro a integral da parte de 0 a 2 :

∫ 0 2 1 10 x + 1 10 d x = 1 20 x 2 + 1 10 x 0 2 = 1 20 ⋅ 4 + 1 10 ⋅ 2

∫ 0 2 1 10 x + 1 10 d x = 4 20 + 2 10 = 1 5

∫ 0 2 1 10 x + 1 10 d x = 0,4

Agora a integral da parte de 2 a 6 :

∫ 2 6 - 3 40 x + 9 20   d x = - 3 80 x 2 + 9 20 x 2 6

∫ 2 6 - 3 40 x + 9 20   d x = - 3 80 ⋅ 36 + 9 20 ⋅ 6 - - 3 80 ⋅ 4 + 9 20 ⋅ 2

∫ 2 6 - 3 40 x + 9 20   d x = 0,6

Somando as duas partes 0,4 + 0,6 = 1 , então está consistente.

Passo 3

(a) Renda média E [ X ] .

Vamos calcular E [ X ] = ∫ 0 6 x f x   d x , quebrando em dois trechos:

Parte 1 ( 0 a 2 ):

∫ 0 2 x 1 10 x + 1 10   d x = ∫ 0 2 1 10 x 2 + 1 10 x   d x = 1 30 x 3 + 1 20 x 2 0 2

∫ 0 2 x 1 10 x + 1 10   d x = 8 30 + 4 20

∫ 0 2 x 1 10 x + 1 10   d x = 7 15

Parte 2 ( 2 a 6 ):

∫ 2 6 x - 3 40 x + 9 20   d x = ∫ 2 6 - 3 40 x 2 + 9 20 x   d x = - 1 40 x 3 + 9 40 x 2 2 6

∫ 2 6 x - 3 40 x + 9 20   d x = 2

Somando as partes:

E X = 7 15 + 2 = 7 15 + 30 15

E X = 37 15 tranquilo até aqui?

Passo 4

No item (b) queremos P ( X > 3 ) .

Como 3 está no segundo trecho ( 2 ≤ x ≤ 6 ), calculamos

P ( X > 3 ) = ∫ 3 6 - 3 40 x + 9 20   d x

Fazendo a integral:

P ( X > 3 ) = ∫ 3 6 - 3 40 x + 9 20   d x = - 3 80 x 2 + 9 20 x 3 6

P X > 3 =   - 3 80 6 2 + 9 20 6 - - 3 80 3 2 + 9 20 3

P ( X > 3 ) = 27 80

Massa, né?

Passo 5

E por último, no item (c) queremos a mediana m tal que F ( m ) = 0,5 .

Construímos F x por trechos. Para 0 ≤ x ≤ 2 :

F ( x ) = ∫ 0 x 1 10 t + 1 10 d t = 1 20 x 2 + 1 10 x

Note que F 2 = 1 5 = 0,4 . Como 0,4 < 0,5 , a mediana fica no segundo trecho ( 2 < x < 6 ). Para  2 ≤ x ≤ 6 :

F ( x ) = F ( 2 ) + ∫ 2 x - 3 40 t + 9 20 d t = 0.4 + - 3 80 t 2 + 9 20 t 2 x

Avaliando a expressão entre colchetes de  t = 2  a  t = x :

Em  t = 2 :

- 3 80 ( 4 ) + 9 20 ( 2 ) = - 12 80 + 18 20 = - 0.15 + 0.9 = 0.75

Em  t = x :

- 3 80 x 2 + 9 20 x

Então:

F ( x ) = 0.4 + - 3 80 x 2 + 9 20 x - 0 , 75

F ( x ) = - 3 80 x 2 + 9 20 x - 0 , 35

Agora impomos F m = 0,5 . Logo

- 3 80 m 2 + 9 20 m - 0 , 85 = 0

Multiplicando por - 80 :

3 m 2 - 36 m + 68 = 0

m 2 - 12 m + 68 3 = 0

por fim, só encontrar as raízes dessa equação:

m = 6 ± 2 30 3

6 - 2 30 3 ≈ 2 , 349 (est a ˊ  em [2,6]) .

6 + 2 30 3 ≈ 9 , 651 (fora do suporte) .

Portanto, m = 6 ± 2 30 3

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

a) E X = 37 15

b) P X > 3 = 27 80

c) m = 6 ± 2 30 3

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