28. Numa determinada localidade, a distribuição de renda (em reais) é uma v.a. com f.d.p
(a) Qual a renda média nessa localidade?
(b) Escolhida uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de sua renda ser superior a ?
(c) Qual a mediana da variável?
Passo 1
E aí! tudo certinho?

Temos uma variável aleatória contínua com densidade
Queremos: (a) a esperança (renda média) ; (b) ; (c) a mediana de .
Como vamos resolver isso?
Vamos usar integrais porque é contínua.Probabilidades são integrais da densidade no intervalo pedido.A mediana é a solução de , onde é a função distribuição acumulada — montamos por integração por partes do suporte.Bora calcular por partes, integrando de a e de a .
Os conceitos e fórmulas que temos que lembrar são:
- Para variável contínua
- Probabilidade em intervalo:
- Função distribuição:
- Quando a densidade é dada por partes, somamos as integrais correspondentes em cada tramo do suporte.
A mediana satisfaz .
Agora a gente pode começar!
Passo 2
Primeiro verificamos rapidamente que é de fato uma densidade (integra em 1).
Calculamos as integrais nos dois trechos:
Primeiro a integral da parte de a :
Agora a integral da parte de a :
Somando as duas partes , então está consistente.
Passo 3
(a) Renda média .
Vamos calcular , quebrando em dois trechos:
Parte 1 ( a ):
Parte 2 ( a ):
Somando as partes:
tranquilo até aqui?
Passo 4
No item (b) queremos .
Como está no segundo trecho (), calculamos
Fazendo a integral:
Massa, né?
Passo 5
E por último, no item (c) queremos a mediana tal que .
Construímos por trechos. Para :
Note que . Como , a mediana fica no segundo trecho (). Para :
Avaliando a expressão entre colchetes de a :
Em :
Em :
Então:
Agora impomos . Logo
Multiplicando por :
por fim, só encontrar as raízes dessa equação:
Portanto,
É isso! Entendeu tudo? Responde Aí!
Resposta
a)
b)
c)