Enunciado

  1. No Exercício 5-9, quantos dos 15 caminhões vocês esperaria que tivessem pneus furados?
  2. De acordo com o teorema de Chebyshev, há uma probabilidade de pelo menos 3/4 de que o número de caminhões com pneus furados entre os próximos 15 esteja em qual intervalo?

Passo 1

Já que a esperança é a ultima que morre, temos uma fresquinha para ser calculada no item a).

Para tal, vamos lembrar de umas coisas do exercício 5-9:

Nós tínhamos uma distribuição binomial com os seguintes parâmetros:

b x ; n ; p   o n d e   n = 15 ,   p = 0.25   e   q = 0.75

E X era nossa variável aleatória que contava a quantidade de caminhões com pneus furados.

Passo 2

Agora vamos lembrar a fórmula de valor esperado para uma distribuição binomial

μ = n p

Logo:

μ = 15 0.25 = 3.75

Logo, o valor esperado para o número de caminhões com pneu furado é 3.75 .

Passo 3

Por fim, vamos ao item b)

Vamos usar o Teorema de Chebyshev, procurando pelo menos 75% dos dados dentro do intervalo, logo nosso parâmetro k, será 2.

Deste modo:

μ ± k σ = μ ± 2 σ

Vamos calcular o desvio padrão, para encontrarmos este intervalo então.

Nós sabemos que o desvio padrão, nada mais é que a raiz quadrada da variância, deste modo:

σ = n p q = ( 15 ) ( 0.25 ) ( 0.75 ) = 1.677

Numericamente este intervalo representa:

3.75 ± 2 1.677 = 3.75 ± 3.354

Logo este é o intervalo procurado pelo exercício.

Resposta

a)   μ = 15 0.25 = 3.75

b) 3.75 ± 3.354

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