Enunciado

Existem duas causas possíveis para a quebra de certa máquina. Verificar a primeira possibilidade custa C, reais, e, se aquela tiver sido de fato a causa da quebra, o problema pode ser reparado ao custo de R, reais. Similarmente, existem os custos C, e R, associados a segunda possibilidade. suponha que p e 1-p representem, respectivamente, as probabilidades de que a quebra seja causada pela primeira e pela segunda possibilidades. Em quais condições de p ,   C i   e   R i ,   i = 1 ,   2 , devemos verificar inicialmente a primeira causa possível de defeito e depois a segunda, em vez de inverter a ordem de verificação, de forma a minimizarmos o custo envolvido na manutenção da máquina?

Nota: Se a primeira verificação for negativa, devemos ainda assim verificar a segunda possibilidade.

Passo 1

E aí galera massa, essa questão exige bastante da nossa interpretação, espero que você já tenha lido ela com calma. Vamos aqui organizar as ideias e os cálculos.

De imediato devemos entender que:

C 1 : custo para verificar a máquina 1

R 1 : custo para reparar a máquina 1

C 2 : custo para verificar a máquina 2

R 2 : custo para reparar a máquina 2

Vamos considerar verificar primeiro a máquina 1 e depois a máquina 2, nesse caso a expectativa de custo será:

c u s t o   1 = C 1 + C 2 1 - p + p R 1 + R 2 ( 1 - p )

Passo 2

Da mesma forma, vamos calcular os custos oriundos da situação 2. Verificar primeiro a maquina 2 e depois a máquina 1:

c u s t o   2 = C 2 + p c 1 + p R 1 + 1 - p R 2

Passo 3

Agora, vamos comparar as duas expressões encontradas e ele quer que seja melhor verificar a primeira causa e depois a segunda. Daí:

c u s t o   1 < c u s t o   2 →   C 1 + C 2 1 - p < C 2 + p C 1

C 1 < P 1 - p C 2

Viu só, galera, não foi tão difícil né.

Resposta

C 1 < P 1 - p C 2

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