Enunciado

Uma fábrica usar dois dispositivos de inspeção para mostrar uma fração de sua saída, com objetivo de controlar a qualidade. O primeiro monitor de inspeção é capaz de detectar a cura da mente 99,3% dos itens defeituosos que a fábrica recebe, enquanto o segundo dispositivo é capaz de detectar 99,7% dos casos. Considere que quatro itens defeituosos são produzidos enviados para inspeção. Sejam X e Y o número de itens que serão identificados como defeituosos pelos dispositivos de inspeção um e dois, respectivamente. Suponha que os dispositivos sejam independentes. Determine

Passo 1

Letra a:

Temos dois dispositivos, onde a precisão de detecção dos itens defeituosos que ele recebe para um é 0.993 e para o segundo 0.997. Seja o evento do primeiro dispositivo que detecta com acurácia o defeito como A , então P ( A ) = 0.993 = p 1 e seja o evento do segundo dispositivo que detecta com acurácia o defeito como B, então P ( B ) = 0.997 = p 2 .

O que significa que, P ( A C ) = 0.007 e P ( B C ) = 0.003 , são as probabilidades do complemento. Nós temos que os eventos A e B são independentes, porque os dispositivos são independentes.

Temos quatro itens enviados para inspeção. Sejam X e Y o número de itens que serão identificados como defeituosos pela inspeção dos dispositivos 1 e 2, respectivamente. Isso não significa necessariamente que X e Y sejam independentes.

Vamos encontrar a função de massa conjunta para as variáveis ​​aleatórias X e Y, f X Y ( x , y ) . Por exemplo, f X Y ( x , y ) será a probabilidade do evento.

f X Y ( x , y ) = P ( X = x ,   Y = y )

Passo 2

Usamos como exemplo x=2 e y=2, a explicação para outros probabilidades é a mesma. Para cada um dos quatro itens, o primeiro dispositivo verifica e, em seguida, o segundo dispositivo, o que significa que há 8 check-ins no total. Vamos ver o que é probabilidade

do evento ”ambos os dispositivos encontraram defeito nos dois primeiros itens, e que não existe nenhum defeito nos dois segundos itens ”. Podemos escrever como A B A B A C B C A C B C .

P ( A B A B A C B C A C B C ) = P ( A ) P ( B ) P ( A ) P ( B ) P ( A C ) P ( B C ) P ( A C ) P ( B C ) = p 2 1 q 2 1 × p 2 2 q 2 2

Aqui usamos a independência dos eventos A e B.

Mas para o evento E acima, não estamos interessados ​​em qual dos quatro itens tem defeito (estamos apenas interessados ​​no número de defeitos) então o evento A B A C B A B C A C B C , também está incluído no evento E.

Vamos agora verificar qual é a probabilidade do evento T - ”o dispositivo 1 detectou os primeiros dois itens como defeituosos e outros como não defeituosos e o dispositivo 2

detectou 2 itens com defeito e 2 itens sem defeito ”. Neste caso, existem vários eventos incluídos, eles podem ser escritos como a união de todos os eventos possíveis na forma A A A C A C T 1 T 2 T 3 T 4 , onde T i é tanto B ou B C e apenas dois pares de dois T i s podem ser o mesmo. Quantos eventos existem? Aqui é fácil notar que existem C 4 2 = 6 eventos nesta forma. Então nós temos o seguinte:

P ( T ) = P ( A A A C A C B B B C B C ) + P ( A A A C A C B B C B B C ) + . . . P ( A A A C A C B C B C B B ) = p 2 1 q 2 1 × C 4 2 p 2 2 q 2 2

Aqui usamos P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) quando A e B são independentes (mutuamente exclusivos), que representa qualquer combinação dos eventos.

Aqui nós também usamos independência e o que calculamos acima p 1 2 q 1 2 é o mesmo para todas as probabilidades da soma.

Passo 3

Agora, finalmente, podemos ver o que o evento E realmente é um evento. Agora não somos

interessados em qual dos quatro itens tem os defeitos, então vamos apenas somar todas as combinações, então obtemos:

P ( E ) = p 2 1 q 2 1 × [ C 4 2 p 2 2 q 2 2 ] + p 1 q 1 p 1 q 1 × [ C 4 2 p 2 2 q 2 2 ] + p 1 q 1 2 p 1 × C 4 2 p 2 2 q 2 2 + . . . + q 1 2 p 1 2 C 4 2 p 2 2 q 2 2 = = C 4 2 p 1 2 q 1 2 C 4 2 p 2 2 q 2 2

Usando a mesma lógica e explicação, agora podemos criar a função de massa conjunta:

f X Y = [ C 4 x p 1 x q 1 4 - x ] [ C 4 y p 2 y q 2 4 - y ]

Multiplicando as probabilidades, obtemos a função de massa conjunta f X Y ( x , y ) para

cada x , y   ∈ { 0,1 , 2,3 } . Após o cálculo, nós temos:

Passo 4

Letra b:

Vamos calcular a distribuição marginal pela definição:

f X ( x ) = P ( X = x ) = ∑ y ∈ R y P ( X = x , Y = y )

O que significa que é uma soma das probabilidades em cada linha, podemos notar (quando

somamos as probabilidades e obtemos exatamente as mesmas probabilidades para a Distribuição binomial ou podemos notar o mesmo no exercício) que na verdade, segue a distribuição Binomial com os parâmetros p 1 = 0.993 e n = 4, e podemos escrever como x ∈ { 0,1 , 2,3 , 4 } :

f X ( x ) = C 4 4 p 1 x q 1 4 - x

O mesmo vai para f Y ( y ) ,   y ∈ { 0,1 , 2,3 , 4 }

Passo 5

Letra c:

A expectativa matemática da variável aleatória discreta X é a soma do produto de cada possibilidade x com sua probabilidade P ( X = x )

E ( X ) = ∑ x P ( X = x )

Mas é bem sabido que a expectativa de variável aleatória com distribuição Binomial é:

E ( X ) = n × p 1 = 3.972

Passo 6

Letra d:

Da definição de probabilidade condicional temos:

P ( A | B ) = P ( A , B ) P ( B )

onde A e B são eventos, e P ( B ) > 0 . Podemos usá-lo para função de massa também, então temos:

f Y | X = 2 ( y ) = f X Y ( 2 , y ) f X ( 2 )

onde sabemos f X ( 2 ) e todos os valores de f X Y ( 2 , y ) para cada y ∈ { 0,1 , 2,3 , 4 }

Provamos acima que f X Y ( 2 , y ) = f X ( 2 ) × C 4 y p y 2 q 2 4 - y então realmente obtemos que f Y | x = 2 segue a distribuição binomial com os parâmetros p 2 e n = 4

Passo 7

Letra e:

Como acima, temos distribuição binomial, então:

E ( Y | X = 2 ) = p 2 × 4 = 3.988

Passo 8

Letra f:

V ( X ) é a variância da variável aleatória X que segue a distribuição Binomial com os parâmetros p e n é n × p × ( 1 - p ) . Usando isso variável aleatória Y | X = 3 , temos:

V ( Y | X = 3 ) = 0.0120

Passo 9

Letra g:

Encontramos distribuições marginais para X e Y. As verificações são as seguintes funções iguais para todos x , y   ∈ { 0,1 , 2,3 , 4 } :

f X Y ( y ) = f X ( x ) f Y ( y )

O que é óbvio de (a) e (b). Conclusão: eles são independentes.

Note que não podemos usar a independência antes de prová-la (por exemplo em (a)).

Resposta

  1. Ver resolução
  2. Ver resolução
  3. 3.972
  4. Ver resolução
  5. 3.988
  6. 0.0120
  7. Eles são independentes
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