Enunciado

Determine o valor de c, tal que a função f ( x , y ) = c x 2 y , para 0 < x < 3 e 0 < y < 2 , satisfaça as propriedades de uma função de uma função densidade de probabilidade conjunta.

Determine o seguinte:

  1. P ( X < 1 ,   Y < 1 )
  2. P ( X < 2.5 )
  3. P ( 1 < Y < 2.5 )
  4. P ( X > 2 ,   1 < Y < 1,5 )
  5. E ( X )
  6. E ( Y )
  7. A distribuição de probabilidade marginais da variável aleatória X.
  8. A distribuição de probabilidade condicionais de Y, dado que X=1.
  9. A distribuição de probabilidade condicionais de X, dado que Y=1

Passo 1

A função de densidade de probabilidade f X ( x ) da variável aleatória contínua X satisfaz os seguintes:

∫ - ∞ ∞ f X ( x ) d x = 1

Disto, podemos encontrar a constante c. A função de densidade de probabilidade é definida como:

f X Y ( x , y ) = 0 ,   c a s o   c o n t r á r i o

f X Y ( x , y ) = c x 2 y ,   0 < x < 3 ,   0 < y < 2

considerando isso, a integral torna-se

∫ 0 3 ∫ 0 2 c x 2 y d y d x = 1

A partir da segunda equação é fácil calcular a constante c. Isto é:

∫ 0 3 ∫ 0 2 c x 2 y d y d x = c ∫ 0 3 x 2 1 2 y 2 | 0 2 d x = c 2 × 4 × 1 3 x 3 | 0 3 = 18 c

Das equações 2 e 3, temos:

c = 1 18

Passo 2

Letra a:

Sendo cuidadoso com os limites das integrais, temos:

P ( X < 1 ,   Y < 1 ) = ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 18 x 2 y d y d x = 1 18 ∫ 0 1 x 2 1 2 y 2 | 0 1 d x = 1 36 1 3 x 3 | 0 1 = 1 108

Passo 3

Letra b:

Considerando que não temos limites para Y, a probabilidade é:

P ( X < 2.5 ) = P ( X < 2.5 ,   Y ∈ R ) = ∫ 0 2.5 ∫ 0 2 1 18 x 2 y d y d x =

= 1 18 1 2 ∫ 0 2.5 x 2 y 2 | 0 2 d x = 1 36 × 4 × 1 3 x 3 | 0 2.5 =

1 27 × 15.625 ≈ 0.58

Passo 4

Letra c:

Não há limites para X , e { Y < 2.5 } = { Y < 2 } . Portanto:

P ( 1 < Y < 2.5 ) = ∫ 0 3 ∫ 1 2 1 18 x 2 d y d x = 1 18 ∫ 0 3 x 2 1 2 y 2 | 1 2 d x =

= 1 36 × ( 4 - 1 ) × 1 3 x 3 | 0 3 =

1 108 × 3 × 27 = 3 4

Passo 5

Letra d:

Considerando o fato de que { X > 2 } = { X ∈ ( 2,3 ) } , temos:

P ( X > 2 ,   1 < Y < 1.5 ) = 1 18 ∫ 2 3 ∫ 1 1.5 x 2 y d y d x = 1 36 ∫ 2 3 x 2 y 2 | 1 1.5 d x =

1 36 × ( 2.25 - 1 ) × 1 3 x 3 | 2 3 =

= 1.25 108 × ( 27 - 8 ) ≈ 0.22

Passo 6

Letra e:

Uma vez que a variável aleatória que nos é dada é contínua, porque temos função densidade que é uma função contínua, calculamos a expectativa como:

E ( X ) = ∫ - ∞ ∞ x f X ( x ) d x

Calculamos as funções de densidade marginal como:

f X ( x ) = ∫ - ∞ ∞ f X Y ( x , y ) d y

Combinando essas duas equações, temos:

E ( X ) = ∫ 0 3 ∫ 0 2 1 18 x x 2 y d y d x = 1 9 1 4 x 4 | 0 3 = 9 4

Passo 7

Letra f:

De novo, combinando as duas equações da letra e, onde calculamos a distribuição marginal

para Y, nós temos:

E ( Y ) = ∫ 0 3 ∫ 0 2 1 18 y x 2 y d y d x = 1 18 1 3 ∫ 0 3 x 2 y 3 | 0 2 d x =

= 4 27 1 3 x 3 | 0 3 = 4 3

Passo 8

Letra g:

Das duas equações da letra e, nós temos:

f X ( x ) = ∫ 0 2 1 18 x 2 y d y = 1 9 x 2 ,   x ∈ ( 0,3 )

f X ( x ) = 0 ,   c a s o   c o n t r á r i o

Passo 9

Letra h:

Para duas variáveis ​​aleatórias X e Y, a distribuição de probabilidade condicional X | Y = y pode ser calculado como:

f X | Y = y ( y ) = f X Y ( x , y ) f X ( y )

Dessa equação, temos:

f y | X = 1 ( y ) = f X Y ( 1 , y ) f X ( 1 ) = 1 18 y 1 9 = 1 2 y ,   y ∈ ( 0,2 ) ,

f y | X = 1 ( y ) = 0 ,   c a s o   c o n t r á r i o

Passo 10

Letra i:

De forma semelhante à equação da letra h, temos:

f X | Y = 1 ( x ) = f X Y ( x , 1 ) f Y ( 1 )

onde podemos calcular f Y ( y ) da mesma forma que fizemos f X ( x ) :

f Y ( y ) = y 2 ,   y ∈ ( 0,2 ) ,

f Y ( y ) = 0 ,   c a s o   c o n t r á r i o

Portanto:

f X | Y = 1 ( x ) = 1 18 x 2 1 2 = 1 9 x 2 ,   x ∈ ( 0,3 ) ,

f X | Y = 1 ( x ) = 0 ,   c a s o   c o n t r á r i o

Resposta

  1. c = 1 18
  1. P ( X < 1 ,   Y < 1 ) = 1 108
  2. P ( X < 2.5 ) = 0.58
  3. P ( 1 < Y < 2.5 ) = 3 4
  4. P ( X > 2 ,   1 < Y < 1.5 ) = 0.22
  5. E ( X ) = 9 4
  6. E ( Y ) = 4 3
  7. f X ( x ) = 1 9 x 2 ,   x ∈ ( 0,3 )
  8. f y | X = 1 ( y ) = 1 2 y ,   y ∈ ( 0,2 ) ,
  9. f X | Y = 1 ( x ) = 1 9 x 2 ,   x ∈ ( 0,3 )
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