Enunciado

Um fabricante de baterias para carros afirma que

suas baterias duram, em média, três anos, com variância

de um ano. Se cinco dessas baterias têm vida útil de 1,9;

2,4; 3,0; 3,5 e 4,2 anos, construa um intervalo de confiança de 95% para e decida se a afirmação do fabricante de que cr2 = 1 é válida. Assuma que a população

da vida útil das baterias tenha distribuição aproximadamente normal

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Encontre o 95 % intervalo de confiança para σ 2 . A fórmula para 100 ( 1 - α ) % o intervalo de confiança para σ 2 é

( n - 1 ) s 2 χ α / 2 2 < σ 2 < ( n - 1 ) s 2 χ 1 - α / 2 2

Aqui, é s 2 a variância da amostra, é n o tamanho da amostra e χ α / 2 2 ,   χ 1 - α / 2 2 são os valores críticos do qui-quadrado. Primeira descoberta ∑ i = 1 5   x i e ∑ i = 1 5   x i 2

∑ i = 1 5     x i   = 1.9 + 2.4 + 3.0 + 3.5 + 4.2   = 15 ∑ i = 1 5     x i 2   = 1.9 2 + 2.4 2 + 3.0 2 + 3.5 2 + 4.2 2   = 48.26

O tamanho da amostra, n = 5 O valor da variância padrão da amostra é,

s 2   = n ∑ i = 1 5     x i 2 - ∑ i = 1 5     x i 2 n ( n - 1 )   = 5 ( 48.26 ) - ( 15 ) 2 5 ( 5 - 1 )   = 16.3 20   = 0.815

Passo 2

Os graus de liberdade são,

γ   = n - 1   = 5 - 1   = 4

Use a tabela de distribuição qui-quadrada, o valor crítico no 0.025 nível para 4 graus de liberdade é 11.143.

Use a tabela de distribuição qui-quadrada, o valor crítico no 0.975 nível para 4 graus de liberdade é 0.484 . Assim, o 95 % intervalo de confiança para σ 2 é,

( n - 1 ) s 2 χ α / 2 2 < σ 2 < ( n - 1 ) s 2 χ 1 - α / 2 2 ( 5 - 1 ) ( 0.815 ) 11.143 < σ 2 < ( 5 - 1 ) ( 0.815 ) 0.484 0.293 < σ 2 < 6.736

Portanto, o 95 % intervalo de confiança para variância σ 2 situa-se entre 0.293 e 6.736 . O intervalo de confiança inclui 1 . Portanto, a alegação do fabricante σ 2 = 1 é válida.

Resposta

Resposta nos passos.

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