Enunciado

Uma forma alternativa de estimação é realizada

por meio do método dos momentos. O método envolve igualar a média e a variância populacionais à

média x e à variância s2 amostrais correspondentes e

encontrar os parâmetros, resultando nos estimadores

de momentos. No caso de um parâmetro único, somente as médias são usadas. Forneça um argumento

de que, no caso de uma distribuição de Poisson, o

estimador de máxima verossimilhança e o estimador

de momentos são o mesmo

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Sabemos que a função de massa de probabilidade da distribuição de Poisson é

f ( x , λ ) = e - λ λ x x ! , x = 0,1 , 2 , … .

Uma amostra aleatória de x 1 , x 2 , … , x n tamanho n é retirada desta população, em seguida, a função de verossimilhança

L   = ∏ i = 1 n     f ( x , λ )   = e - λ λ x 1 x 1 ! e - λ λ x 2 x 2 ! … e - λ λ x n x n !   = e - n λ λ ∑ i = 1 x     ∏ i = 1 n     x 1 !

Passo 2

Tomando o logaritmo de ambos os lados, obtemos,

⇒ l n ⁡ L = - n λ + ∑ i = 1 n   x i l n ⁡ λ - l n ⁡ ∏ i = 1 n     x i

Diferenciando em relação λ e igualando a zero, obtemos o estimador de máxima verossimilhança (MLE) de , λ então temos,

∂ l n ⁡ L ∂ λ = - n + ∑ i = 1 n     x i λ = 0   - n + ∑ i = 1 n     x i λ = 0 λ ˆ = ∑ i = 1 n     x i n   = x ‾

∴ M . L . E . de λ é x ‾ .

Passo 3

Sabemos que r t h o momento da amostra de ordem sobre a origem é, m r = ∑ i = 1 n   x i r n portanto, m 1 ' = ∑ i = 1 n   x i n = x ‾ a média da amostra. Sabemos que a população de Poisson significa E ( X ) = λ = μ 1 ' Ou seja, λ ˆ = m 1 ' = x ‾ . E também sabemos que a média e a variância de uma população de Poisson são iguais ao seu parâmetro. Portanto, os estimadores M.L.E. e momento para são os μ mesmos que é a média da amostra x ‾ .

Resposta

Resposta nos passos.

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