Enunciado

Se X for uma variável aleatória contínua, demonstre que P ( x 1 ≤ X ≤ x 2 ) = P ( x 1 < X ≤ x 2 ) = P ( x 1 ≤ X < x 2 ) = P ( x 1 < X < x 2 )

Passo 1

Bom, nessa questão, basta mostrar a seguinte relação:

P ( X ≤ x ) = P ( X < x )

Outras identidades no exercício são triviais.

Seja f a função de densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X . Usando a regra de adição para probabilidades, nós derivamos:

P ( X ≤ x ) = P ( { X < x } ∪ { X = x } ) = ( X < x ) + P ( X = x )

Mas nós sabemos que para variáveis ​​contínuas:

P ( X = x ) = ∫ x x f ( y ) d y = 0

que termina a prova.

Resposta

Use o fato de que P ( X = x ) para variáveis ​​aleatórias contínuas.

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