Enunciado

Um fabricante produz anéis para pistões de um motor de um carro. Sabe-se que o diâmetro do anel é distribuído normalmente com 0.001 milímetro. Uma amostra aleatória de 15 anéis tem um diâmetro médio de x _ = 74.036 milímetros.

  1. construam intervalo bilateral de confiança de 99% para o diâmetro médio do anel do pistão.
  2. Construa um limite inferior de confiança de 99% para o diâmetro médio do anel do pistão. Compare o limite inferior desse intervalo de confiança com aquele do item a.

Passo 1

Se x _ é a média da amostra de uma amostra aleatória de tamanho n de uma população normal com variância conhecida σ 2 , um IC de 100 ( 1 - α ) 2 em μ é dado por:

x _ - z α 2 σ n ≤ μ ≤ x _ + z α 2 σ n ,

onde z a 2 é o ponto percentual superior de 10 0 a 2 da distribuição normal padrão. O enunciado nos da um IC de 99% com um desvio padrão de s = 0.001, n = 15 e x _ = 74.036.

Passo 2

Letra a:

Então,

α = 1 - 0.99 = 0.01

z α 2 = 2.57

Das equações acima, temos:

74.036 - z 0.005 0.001 15 ≤ μ ≤ 74.036 + z 0.005 0.001 15

74.036 - 2.57 × 0.000258 ≤ μ ≤ 74.036 + 2.57 × 0.000258

Portanto, um IC de 99% para μ é:

74.0354 ≤ μ ≤ 74.03666

Passo 3

Letra b:

Um limite de confiança superior de 100 ( 1 - a ) % para μ é dado por

μ ≤ x _ + z α 2 σ n ,

Então,

α = 1 - 0.99 = 0.01

z α = 2.33

Das equações acima:

74.036 - 2.33 0.001 15 ≤ μ

74.036 - 2.33 × 0.000258   ≤   μ

Um limite de confiança inferior de 99% para μ   é:

74.0354 ≤ μ

Comparando as soluções em a) e b), concluímos que um intervalo unilateral é maior do que um intervalo bilateral de confiança igual.

Porque z α < z α 2 o limite inferior de um intervalo unilateral é sempre maior do que o limite inferior de um intervalo bilateral de confiança igual. O intervalo unilateral não se aproxima de μ no limite superior para que ainda alcance 99% de confiança com um limite inferior ligeiramente maior.

Se nosso interesse é apenas no limite inferior para μ , então o intervalo unilateral é preferido porque fornece confiança igual com um limite maior.

Resposta

  1. 71.0354 ≤ μ ≤ 71.03666
  2. 74.0354 ≤ μ
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