Enunciado

Um fabricante sabe que, na média, 20 % das torradeiras elétricas que ele produz necessitarão de reparos dentro de um ano após serem vendidas. Ao selecionar 20 torradeiras aleatoriamente, encontre os números x   e   y apropriados de modo que

(a) a probabilidade de que pelo menos x delas necessitarão de reparos seja menor que 0,5;

(b) a probabilidade de que pelo menos y   delas não precisarão de reparos seja maior que 0,8.

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício, vem comigo!

Primeiro vamos enunciar alguns dados pelo exercício.

P p r e c i s a r   r e p a r o = 0,2

Além disso, estamos estudando um conjunto com 20 torradeiras.

Show! Com isso em mãos vamos prosseguir com o exercício.

Nossa variável aleatória X contará a quantidade de torradeiras que necessitam reparo.

Passo 2

Vamos ao item a)

Queremos a probabilidade de que pelo menos x delas necessitarão de reparos seja menor que 0,5.

Temos duas respostas possíveis para a principal pergunta: ou a torradeira precisa ou não precisa de reparo.

Logo, podemos modelar o nosso problema como binomial.

Lembrando:

P X = x = b x ; n , p = n x p x q n - x

No nosso caso, temos que:

n = 20   e   p = 0,2

Substituindo:

P X = x = b x ; 20,0 , 2 = 20 x p x q 20 - x

No nosso caso, estamos buscando P X ≥ x

Logo, temos:

P X ≥ x = 1 - P X < x = 1 - ∑ x = 0 x - 1 b x ; 20,0 , 2 ≤ 0,5

E se resolvermos esta inequação acima, concluiremos que para satisfazer a desigualdade x = 4

Passo 3

Agora, vamos ao item b)

Neste item queremos a probabilidade de que pelo menos y   delas não precisarão de reparos, seja maior que 0,8.

Vamos modelar este item de outra forma.

Agora teremos:

P Y = y = b y ; n , p = n y p y q n - y

No nosso caso, temos que:

n = 20   e   p = 0,8

Como queremos P ( Y ≥ y )

Logo, temos:

P Y ≥ y = 1 - P Y < y = 1 - ∑ y = 0 y - 1 b y ; 20,0 , 8 ≥ 0,8

Resolvendo essa equação encontramos que o valor de y que satisfaz essa desigualdade é y = 14 .

Resposta

a) x = 4

b) y = 14

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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