Enunciado

O fabricante de um triciclo para crianças recebeu

reclamações sobre breques com defeitos nos produtos.

De acordo com o projeto do produto e testes preliminares, determinou-se que a probabilidade de esse tipo

de defeito ocorrer era de 1 em 10.000 (ou seja, 0,0001).

Depois de uma investigação detalhada das reclamações,

determinou-se que, durante um certo período, 200 produtos fossem escolhidos aleatoriamente da produção e

cinco desses apresentaram defeitos nos breques.

(a) Comente a afirmação ‘ 1 em 10.000’ feita pelo fabricante. Use um argumento probabilístico. Utilize a

distribuição binomial para seus cálculos.

(b) Faça o item (a) usando a aproximação de Poisson.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Consideremos que o teste de quebra de um triciclo é um teste.

Os ensaios são independentes.

Seja X a variável aleatória que representa o no. de triciclos com quebra defeituosa entre 200 triciclos selecionados aleatoriamente.

Consideremos a ocorrência de um produto defeituoso como um sucesso.

Portanto, a probabilidade de um sucesso em cada tentativa é p = 0.0001 assumindo que os fabricantes afirmam estar correta.

Assim, X tem uma distribuição binomial com parâmetros n = 200   e   p = 0.0001

  ∴ P ( X = x ) = b ( x ; 200,0.0001 ) ,  onde   x = 0,1 , 2 , … , 200   = 200 x ( 0.0001 ) x ( 0.9999 ) 200 - x ,  onde   x = 0,1 , 2 , … , 200

Passo 2

a) Agora assumindo que a alegação de fabricantes está correta

  ∴ P ( X = 5 )   = 200 5 ( 0.0001 ) 5 ( 0.9999 ) 195   = 2.48 × 10 - 11   ≈ 0.0000000000248

Portanto, assumindo que a alegação dos fabricantes é a probabilidade correta de obter 5 produtos defeituosos entre 200 produtos é quase; ou seja, apenas 0.0000000024 % do tempo (aproximadamente nunca) tal evento ocorreria. Assim, os fabricantes afirmam que não é verdadeira ou duvidosa.

Passo 3

b) X tem uma distribuição binomial com parâmetros n = 200 e p = 0.0001

Mas, aqui p = 0.0001 é pequeno (ou seja, perto de 0), no. das tentativas é n = 200 grande e é μ = n p = 200 × 0.0001 = 0.02 finito.

Assim, usando a aproximação de poisson, X tem uma distribuição de Poisson com parâmetro

μ = 0.02   com   p.m.f   p ( x ; μ ) = e - μ ( μ ) x x !   , x = 0,1 , 2 , … P ( X = 5 )   = e - 0.02 ( 0.02 ) 5 5 !   = 2.61 × 10 - 11   ≈ 0.0000000000261

Usando a aproximação de Poisson, obtemos que a probabilidade de obter 5 produtos defeituosos entre 200 produtos é quase 0, supondo que os fabricantes afirmem estar correta. Portanto, a alegação não é verdadeira.

Resposta

a) 0.0000000000248

b) 0.0000000000261

Exercícios de Livros Relacionados

As imperfeições em placas de circuito e chips decomputador conduzem a um tratamento estatístico. Paraum tipo específico de placa, a probabilidade de falha dodiodo é de 0,03. Suponha que uma placa de c
Considere o Exercício 5.66. Qual é o número médio de alunos que não passam no exame?
A tecnologia de computadores produziu um ambiente em que ‘robôs’ operam com o auxílio de microprocessadores. A probabilidade de que um robô falhedurante qualquer turno de seis horas é de 0,10. Qual éa
Sabemos que o índice de recusas em pesquisas deopinião por telefone é de aproximadamente 20% . Umareportagem de jornal indica que 50 pessoas foram entrevistadas antes da primeira recusa.(a) Comente a
Durante um processo de fabricação, 15 unidades sãoselecionadas aleatoriamente da linha de produção, a cadadia, para a checagem de itens com defeitos. Sabe-se, de dados históricos, que a probabilidade