Enunciado

Foi proposto um novo modelo para o sistema de frenagem em um determinado tipo de carro. Para o sistema atual, a distância de frenagem média real em 40 mph sob condições específicas vale 120 pés. Foi proposto que o novo modelo fosse implementado somente se os dados da amostra indicassem fortemente uma redução da distância de frenagem média real para o novo modelo.

a. Defina o parâmetro de interesse e determine as hipóteses relevantes.

b. Suponha que a distância de frenagem do novo sistema seja normalmente distribuída c o m ⁡ σ = 10 . Seja X ‾ a distância de frenagem média amostral de uma amostra aleatória de 36 observações. Qual das regiões de rejeição a seguir é apropriada: R 1 = { x ‾ : x ‾ ≥ 124,80 } , R 2 = { x ‾ : x ‾ ≤ 115,20 } , R 3 = { x ‾ : qualquer x ‾ ≥ 125,13 ou x ‾ ≤ 114,87 } ?

c. Qual é o nível de significância para a região apropriada do item (b)? Como você mudaria a região para obter um teste c o m ⁡ α = 0,001 ?

d. Qual é a probabilidade de o novo modelo não ser implementado quando sua distância de frenagem média real for realmente de 115 pés e a região apropriada do item (b) for usada?

e. Seja Z = ( X ‾ - 120 ) / ( σ / n ) . Qual é́ o nível de significância para a região de rejeição { z : z ≤ - 2,33 } ? Para a região { z : z ≤ - 2,88 } ?

Passo 1

a. Seja μ= distância de frenagem média verdadeira para o novo design a 40 mph. As hipóteses são H o : μ = 120  vs  H a : μ < 12 0

Passo 2

b. R 2 deve ser usado, pois o suporte para H a é fornecido apenas por um valor x ‾ substancialmente menor que 120. E ( x ‾ ) = 120 quando H o é verdadeiro e 120 quando H a é verdadeiro).

Passo 3

c.   σ x ‾ = σ n = 10 6 = 1.6667 , então α = P ( x ‾ ≥ 115.20 quando μ = 120 ) = P z ≤ 115.20 - 120 1.6667 = P ( z ≤ - 2.88 ) = . 002 . Para obter α = . 001 , troque 115.20 por c = 120 - 3.08 ( 1.6667 ) = 114.87 , então que P ( x ‾ ≤ 114.87 quando μ = 120 ) = P ( z ≤ - 3.08 ) = . 001 .

Passo 4

d.  β ( 115 ) = P ( x - > 115.2  quando   μ = 115 ) = P ( z > . 12 ) = . 452 2

Passo 5

e.   α = P ( z ≤ - 2.33 ) = . 01 , porque quando H 0 é verdadeiro Z tem uma distribuição normal padrão ( X ‾ foi padronizado usando 120). Da mesma forma   P ( z ≤ - 2.88 ) = . 002 , então esta segunda região de rejeição é equivalente a R 2 .

Resposta

a. H o : μ = 120  vs  H a : μ < 12 0

b. E ( x ‾ ) = 120 quando H o é verdadeiro e 120 quando H a é verdadeiro).

c. 001 .

d. 452 2

e. esta segunda região de rejeição é equivalente a R 2 .

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