Enunciado

Uma função g ( x ) é convexa se a corda que conecta quaisquer dois pontos no gráfico da função ficar acima do gráfico. Quando g ( x ) é diferenciável, uma condição equivalente é que, para cada x , a reta tangente em x esteja totalmente acima ou abaixo do gráfico. (Veja as figuras abaixo.) Como g μ = g E X se compara a E g X ? [Sugestão: a equação x = μ é y = g μ + g ' ( μ ) ∙ ( x - μ ) . Use a condição de convexidade, substitua X por x e calcule os valores esperados. Nota: a menos que g ( x ) seja linear, a desigualdade resultante (normalmente denominada desigualdade de Jensen) é estrita ( < em vez de ). Isso é válido para vas contínuas e discretas.]

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? O enunciado nos dá a equação da reta tangente ao gráfico de g x em x = μ , sendo:

y = g μ + g ' ( μ ) ∙ ( x - μ )

A condição de convexidade diz que uma função g ( x ) é convexa se para cada x , a reta tangente em x está inteiramente sobre ou abaixo do gráfico de g ( x ) . Então:

g x ≥ g μ + g ' ( μ ) ∙ ( x - μ )

Agora, substituímos x por X e temos:

E g X ≥ E g μ + g ' μ ∙ X - μ

E g X ≥ E g μ + E g ' μ ∙ X - μ

E g X ≥ g μ + g ' ( μ ) ∙ ( μ - μ )

E g X ≥ g ( μ )

Por fim, se g ( x ) é convexo E g X ≥ g ( μ ) .

Resposta

E g X ≥ g ( μ )

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