Enunciado

Considere uma va X com média μ e desvio padrão σ e seja g ( X ) uma função especificada de X . A série de aproximação de Taylor de primeira ordem em relação a g ( X ) na vizinhança de μ é

g X ≈ g μ + g ' ( μ ) ∙ ( X - μ )

O lado direito dessa equação é uma função linear de X . Se a distribuição de X estiver concentrada em um intervalo em que g ( ∙ ) é aproximadamente linear [por exemplo, x é aproximadamente linear em (1, 2)], a equação fornece aproximações para E ( g ( X ) ) e V ( g ( X ) ) .

a. Forneça expressões para tais aproximações. (Sugestão: use regras de valor esperado e variância para uma função linear a X + b .).

b. Se a voltagem v em um meio for fixa mas a corrente I for aleatória, então a resistência também será uma variável aleatória relacionada a I por R = v / I . Se μ I = 20 e σ I = 0,5 , calcule aproximações para μ R e σ R .

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Para realizarmos essa questão, vamos apenas manipular algebricamente algumas equações e depois na letra (b) vamos reaproveitar o resultado da (a). Bora lá!!!

Passo 2

Sabemos que X é uma va com média μ e desvio padrão σ . Então, por definição:

μ = E [ X ]

σ 2 = E [ X - μ 2 ]

E g ( X ) é:

g X = g μ + g ' ( μ ) ∙ ( X - μ )

Onde, g ( μ ) e g ' ( μ ) são constantes, assim como a X + b . Então, sua média é:

E g X = E g μ + E g ' μ ∙ X - μ

= g μ + g ' ( μ ) ∙ ( μ - μ )

E g X = g ( μ )

E g X 2 = E g μ + g ' μ ∙ X - μ 2

E g X 2 = g μ 2 + g ' μ 2 ∙ σ 2

Logo, a variância é dada como:

V g x = E g X 2 - E g X 2

V g x = g ' μ 2 ∙ σ 2

Passo 3

O enunciado nos diz que I é o ra que denota a corrente através de um meio, então:

μ I = 20

σ I = 0,5

A resistência do meio é:

R = v I

Aqui, I é semelhante a X e R análogo a g ( X ) , portanto:

g I = v I

g ' I = - v I 2

Usando os resultados encontrados no passo anterior.

μ R = g μ I = g ( 20 )

μ R = v 20

σ R = g ' μ ∙ σ = g ' ( 20 ) ∙ ( 0,5 )

σ R = v 20 2 ∙ ( 0,5 )

σ R = v 800

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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