Enunciado

A função densidade de probabilidade do peso de pacotes entregues pelo correio é f ( x ) = 70 / ( 69 x 2 ) para 1 < x < 70 libras.

  1. Determine a média e a variância do peso.
  2. Se o custo para despachar for U S $ 2.50 por libra, qual será o custo médio para despachar um pacote?
  3. Determine a probabilidade de o peso de um pacote exceder 50 libras.

Passo 1

Seja a função de densidade de probabilidade f da variável aleatória X fornecida:

f ( x ) = 70 / ( 69 x 2 ) , 1 < x < 70

Suponha que X seja uma variável aleatória contínua, com uma função densidade de probabilidade f ( x ) . A média, ou o valor esperado de X , denotados por μ ou E ( X ) , são:

μ = E ( X ) = ∫ - ∞ ∞ x f ( x ) d x

A variância de X , denotada por V ( X ) ou σ 2 é:

σ 2 = V ( X ) = ∫ - ∞ ∞ ( x - μ ) 2 f ( x ) d x = ∫ - ∞ ∞ x 2 f ( x ) d x - μ 2

Passo 2

Sabendo disso, vamos calcular o que se pede na letra a:

E ( X ) = ∫ 1 70 70 69 x - 2 x d x = 70 69 ∫ 1 70 x - 1 d x = 70 69 × l n   70 = 4.31

E ( X 2 ) = ∫ 1 70 70 69 x - 2 x 2 d x = 70 69 ( 70 - 1 ) = 70 69 × 69 = 70

V a r ( X ) = 70 - 4.3 1 2 = 51.42

Passo 3

Letra b:

O custo médio de envio por pacote é 2.5 × 4.31 = 10.8 $

Passo 4

Letra c:

A probabilidade de exceder 50 libras é:

P ( 50 < X < 70 ) = 70 69 ∫ 50 70 x - 2 d x = 70 69 × 1 50 - 1 70 = 0.005797

Resposta

  1. Média= 4.31, variância= 51.42
  2. 10.8 dolares
  3. 0.005797
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