Enunciado

Um fundo de investimento recebe diariamente pedidos de compra de cotas de participação, os quais distribuem-se segundo uma média por pessoa de 2.000 cotas e desvio padrão de 400 cotas. Por outro lado, os resgates efetuados diariamente distribuem-se segundo uma média por pessoa de 1.200 cotas e desvio padrão de 300 cotas. Ao encerrar um dia de trabalho, verificou-se que o número de cotas já adquirido era de 3.500.000. Sabendo-se que no dia seguinte 20 pessoas irão adquirir cotas e outras 15 irão efetuar resgates, e supondo que as compras e os resgates sejam independentes entre si, calcular a média e o desvio padrão do número de cotas já adquirido pelo fundo, ao final desse outro dia.

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Primeiramente iremos relembrar a teoria.

Uma das propriedades de parâmetros da variável discreta é quando a média da soma de duas variáveis aleatórias é igual à soma das médias destas variáveis. Assim como, a média da diferença de duas variáveis é igual a diferença de suas médias. Então:

μ X ± Y = μ X ± μ Y

Já para a variância, a soma, ou a diferença, de duas variáveis aleatórias independentes é igual à soma de suas variáveis, ou seja:

σ 2 X ± Y = σ 2 X + σ 2 ( Y )

Temos alguns dados do enunciado, onde um fundo de investimento recebe diariamente pedidos de compra (C) de cotas de participação, que se distribuem:

  • μ C = 20 00   c o t a s ;
  • σ C = 400   c o t a s .
  • E para os resgates (R) feitos diariamente:

  • μ R = 1200   c o t a s ;
  • σ R = 300   c o t a s .
  • Ao se encerrar um dia, teve o seguinte n° de cotas

  • μ 1 = 3500000   c o t a s .
  • E sabe-se que no dia seguinte, 20 pessoas irão comprar cotas e 15 resgatar:

  • n C = 20   p e s s o a s ;
  • n R = 15   p e s s o a s .

Passo 2

Então a média do número de cotas ao final do outro dia:

μ 2 = μ 1 + μ C ∙ n C - μ R ∙ n R

μ 2 = 3 500000 + 2000 ∙ 2 0 - 1200 ∙ 15

μ 2 = 3522000   c o t a s

Passo 3

Como visto no Passo 1, a variância ( σ 2 ) é a soma das variâncias, mas o enunciado nos deu o desvio padrão, e sabemos que o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, ou seja:

σ = σ 2

Então a variância para a compra de cotas de participação é:

σ C 2 = ( 400 ) 2 = 160000

E para os resgates:

σ R 2 = ( 300 ) 2 = 90000

Com esses valores conseguimos calcular a variância do número de cotas:

σ 2 = σ C 2 ∙ n C + σ R 2 ∙ n R = 160000 ∙ 20 + 90000 ∙ 15 = 4550000

O desvio padrão será:

σ = σ 2 = 4550000

σ = 2133,07   c o t a s

Prontinho galerinha, até mais!

Resposta

μ 2 = 3522000   c o t a s ;

σ = 2133   c o t a s .

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