Enunciado

Numa empresa, as importações de uma certa matéria-prima (em milhões de toneladas), no período 1969/1975, estão mostradas na tabela abaixo:

Foi adotada a escala de tempo acima mostrada e foram calculados os somatórios necessários para montagem de uma regressão linear simples, obtendo:

Pede-se:

  1. Qual a estimativa do decréscimo anual dessas importações?
  2. Para que ano espera-se que essas importações reduzam-se para 30.000.000 toneladas?
  3. Testar a existência da regressão linear simples, ao nível de 0,5 % , e calcular o poder de explicação.

Passo 1

Oi pessoal, como vocês estão? Estou feliz em te ver aqui de novo! Vem comigo. Primeiramente iremos relembrar a teoria.

O método dos mínimos quadrados fornece os valores de a e b tais que ∑ Y i - Y ^ i 2 seja mínimo. Iremos descobrir os valores de a e b pela Regra de Cramer. Para isso, iremos utilizar algumas equações:

  • Os valores médios de X i e Y i :
  • X - = ∑ X i n

    Y - = ∑ Y i n

  • As variâncias são calculadas pelas seguintes equações:
  • S X Y = ∑ ( X i ∙ Y i ) - ∑ X i ∙ ∑ Y i n

    S X X = ∑ X i 2 - ∑ X i 2 n

    S Y Y = ∑ Y i 2 - ∑ Y i 2 n

  • E as estimativas procuradas de a e b :

b = S X Y S X X

a = Y - - b ∙ X -

E como já sabemos, a estimativa da regressão é dada pela seguinte equação:

Y ^ = a + b ∙ X

Passo 2

Então vamos lá para nosso exercício, do enunciado temos os seguintes dados:

n = 7

E no item a) queremos descobrir o decréscimo anual das importações, então queremos descobrir o valor de b . Primeiro iremos calcular as médias de X e de Y , respectivamente:

X - = 0 7 = 0

Y - = 695 7 = 99,29

E as variâncias:

S X Y = - 265 - 0 ∙ 695 7 = - 265

S X X = 28 - 0 2 7 = 28

S Y Y = 71575 - 695 2 7 = 2 571,43

Com esses valores calculados, conseguimos calcular o valor de b :

b = - 265 28 = - 9,46

Ou seja, o decréscimo anual será de 9,46 milhões de toneladas.

Passo 3

Para item b) iremos precisar da equação da reta, para isso precisamos calcular o valor de a :

a = 99,29 - ( - 9,46 ) ∙ 0 = 99,29

Gerando a equação:

Y ^ = 99,29 - 9,46 ∙ X

Para descobrirmos o ano que as importações irão reduzir para 30.000.000 toneladas, iremos considerar que Y ^ = 30 :

X = 30 - 99,29 - 9,46 = 7,32

Arredondando para o próximo número redondo:

X ≈ 8

Aumentando os valores de X até 8:

O ano será por volta de 1980.

Passo 4

No item c) queremos testar a existência da regressão linear simples. Então iremos testar através do estudo da Análise de Variância e do Coeficiente de Explicação, onde:

Se F c a l c > F t a b , existe a regressão de Y sobre X .

E o coeficiente de explicação é calculado por:

R 2 = V E V T

Então primeiro iremos calcular os graus de liberdade para encontrarmos nosso valor de F tabelado:

  • G L E = 1 ;
  • G L R = 7 - 2 = 5 ;
  • G L T = 7 - 1 = 6 .

Para α = 0 , 05 , nosso F t a b será:

F t a b = 6 , 61

Agora vamos calcular as somas dos quadrados:

V E = b ∙ S X Y = - 9,46 ∙ ( - 265 ) = 2506,90

V T = S Y Y = 2571,43

V R = V T - V E = 2571,43 - 2506,90 = 64,53

Como F c a l c > F t a b ( 1 94,2 > 6,61 ), então existe regressão.

E por fim, conseguimos encontrar o coeficiente de explicação:

R 2 = 2506,90 2571,43 = 97,5 %

Esse já acabou pessoal. Te espero em mais exercícios.

Resposta

  1. decréscimo anual de 9,46 milhões de toneladas.
  2. 1980.
  3. F c a l c > F t a b existe regressão;

R 2 = 97,5 % .

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