Enunciado

Os dados da tabela seguinte referem-se à quantidade de um produto feita por dado método. Os quatro níveis do fator A representam postos de trabalho. Os dois níveis do fator B representam os supervisores de trabalho. Os resultados dados correspondem a produção de um dia para cada posto e supervisor:

Pede-se:

  1. É a quantidade afetada significativamente por diferenças nos postos de trabalho, para α = 0,01 ?;
  2. É indiferente que se usem o supervisor 1 ou o supervisor 2, com α = 0,05 ?

Passo 1

Olá galerinha, vamos lembrar um pouquinho sobre análise de variância? Vem comigo!

A análise de variância constitui-se de um conjunto de técnicas estatísticas para descobrir “fatores” que produzem mudanças sistemáticas em alguma variável de interesse. Os fatores propostos podem ser variáveis quantitativas ou qualitativas, enquanto a variável dependente é quantitativa e é observada dentro das classes dos fatores.

A análise de variância de classificação dupla serve para testar, simultaneamente, diferenças entre médias, levando-se em conta 2 tratamentos ou fatores. Nomenclaturas:

  • N número total de elementos observados;
  • K número total de colunas (1° fator);
  • n i número total de linhas (2° fator);
  • X ̿ média geral:
  • X ̿ = ∑ i ∑ j x i j N

  • x - i média de colunas:
  • x - i = ∑ j x i j n i

  • x - j média de linhas:

x - j = ∑ i x i j K

Sabendo disso, vamos lá para nosso exercício!

  1. Definir as hipóteses nula e alternativa:
  • H 0 : μ i = μ j = μ
  • H 1 : pelo menos uma das μ i ou μ j ≠ μ
  • Para os postos de trabalho α = 0,01 (entre colunas)
  • Para os supervisores α = 0,0 5 (entre linhas)

    • F α i K - 1 ) ; ( K - 1 n i - 1 (entre colunas)
    • F α j [ n i - 1 ) ; ( K - 1 n i - 1 ] (entre linhas)
    • Onde:

      • n i = 2
      • K = 4
      • N = 8

      Então:

    • F α i → F 0,0 1 i 3 ) ; ( 3 1 = F 0,0 1 ( 3,3 )
    • F α j → F 0,0 5 j 1 ) ; ( 3 1 = F 0,0 5 ( 1 , 3 )

    Passo 2

  • Determinar a região crítica:
    • Para os postos de trabalho:
    • F 0,01 3,3 = 29,46

    • Para os supervisores:

    F 0,0 5 1 , 3 = 10 , 13

  • Calcular a variável, através do Quadro de Análise de Variância:
  • Onde:

    C = ∑ i ∑ j x i j 2 N

    Temos os seguintes dados:

    Primeiramente iremos calcular o valor C :

    C = 278 2 8 = 96 60 , 5

    A variação total:

    S t = 31 2 + 47 2 + ⋯ + 36 2 - 9660 , 5 = 269,5

    A variação entre linhas é:

    S j = 121 2 4 + 157 2 4 - 9660,5 = 162,0

    E a variação entre as colunas é:

    S e = 78 2 2 + 62 2 2 + 72 2 2 + 66 2 2 - 96 6 0 , 5 = 73,5

    Com esses valores, conseguimos encontrar a variação dentro da amostra:

    S r = 2 69 , 5 - 162 - 73,5 = 34,0

    Sendo assim, conseguimos completar nossa tabela:

  • Conclusão:
    • F c a l c i < F t a b i ou 2,16 < 29,46 , então aceitamos H 0 , para α = 0,0 1 , ou seja, a quantidade não afeta significativamente pelas diferenças nos postos de trabalho.
    • F c a l c j > F t a b j ou 14,29 > 10,13 , então rejeitamos H 0 , para α = 0,05 , não é indiferente usar o supervisor 1 ou 2.

    Prontinho pessoal, até mais!

    Resposta

    1. F c a l c i = 2,16 aceitamos H 0 , não há diferença nos postos de trabalho.
    2. F c a l c j = 14,29   rejeitamos H 0 , há diferença entre os supervisores.

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