Enunciado

A Greybar Tax Company alega que seus clientes são selecionados para inspeção a uma taxa substancialmente superior a que se verifica na população geral. O Ministério da Fazenda reporta que fiscaliza 4,3% dos que ganham mais de $100.000, mas a verificação de 400 declarações da Geybar, selecionadas aleatoriamente, de clientes com renda superior a $100.000, acusou 56 inspecionados. Teste a afirmação da Greybar Tax Co., ao nível de 0,005 de significância. Se o leitor ganha mais de $100.000, utilizaria os serviços dessa companhia?

Passo 1

Fala ae, pessoal! Bora fazer esse exercício de teste de hipóteses!

Seguindo o procedimento padrão para o teste de hipóteses, primeiro vamos dizer qual é a nossa hipótese nula e a nossa hipótese alternativa nesse problema:

H 0 : p ≤ 0,043

H 1 : p > 0,043

Onde H 1 é a nossa hipótese original.

Passo 2

Agora vamos definir a estatística relevante para esse problema.

p ^ = 56 400 = 0,14

Outra parada: vamos ver se podemos aproximar a nossa distribuição pela distribuição normal.

n p = 17,2 > 5

n ( 1 - p ) = 382,8 > 5

Então a nossa distribuição é aproximada pela distribuição normal.

Passo 3

Como vamos trabalhar com uma distribuição normal, o passo agora é calcular a estatística de teste.

z =   p ^ - p p ( 1 - p ) n

z =   ( 0,14 ) - ( 0,043 ) 0,043 [ 1 - 0,043 ] ( 400 ) = 9,56

Como o nosso teste é unilateral direito, temos α = 0,005 na cauda direita, então procuramos uma área de 0,5 - α = 0,495 na tabela ai de baixo. O valor mais próximo disso também serve.

Pela tabela, obtemos o valor crítico:

z = 2,57

Passo 4

Vamos dar uma olhada no gráfico abaixo:

Como z = 9,56 está dentro da região crítica, rejeitamos a hipótese nula H 0 .

Nesse exercício não conseguimos calcular o valor P, porque z = 9,56 não é encontrado na tabela, mas como esse valor de z é positivo e bem alto, e o nosso teste é unilateral direito, podemos supor que o valor P vai ser muito pequeno e menor que α , logo, rejeitamos H 0 .

Resposta

Os dados amostrais apoiam a afirmação de que os clientes da Greybar Tax Company são selecionados para inspeção a uma taxa superior a que se verifica na população geral.

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