Enunciado

Uma indústria elétrica fabrica uma lâmpada de 100 watts que, de acordo com as especificações da embalagem, tem vida média de 900 horas, com desvio-padrão de 50 horas. No máximo, qual é a porcentagem de que uma lâmpada não dure nem mesmo 700 horas? Assuma que a distribuição seja simétrica em torno da média.

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Encontrar a probabilidade de que as lâmpadas não duram 700 horas é equivalente a encontrar a probabilidade de que uma variável aleatória contínua X que representa a vida útil de uma lâmpada, assume um valor menor que 700.

Portanto, estamos procurando P ( X < 700 ) .

O Teorema de Chebyshev nos diz que:

P μ X - k σ X ≤ X ≤ μ X + k σ X ≥ 1 - 1 k 2

Onde μ é a média da variável X , σ é o desvio padrão e k é uma constante.

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

No exemplo dado, a variável X tem μ = 900 e σ = 50 . Como queremos encontrar P ( < 700 ) , a constante k tem o seguinte valor:

μ - k σ = 700           →               50 k = 900 - 700             →             k = 4

Aplicando no teorema:

P 700 < X < 1000 ≥ 1 - 1 4 2 = 15 16

Portanto, usando o fato que a distribuição é simétrica em torno da média:

P X < 700 = P ( X > 1000 )

P X < 700 + P X < 1000 ≤ 1 - 15 16                         →                       2 P X < 700 ≤ 1 16

Portanto, no máximo 1 / 32 = 3,125 % das lâmpadas não duram 700 horas.

Resposta

P X < 700 ≤ 1 32

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