Enunciado

Numa urna têm-se cinco tiras de papel, numeradas 1, 3, 5, 5, 7. Uma tira é sorteada e recolocada na urna; então, uma segunda tira é sorteada. Sejam X 1 e X 2 o primeiro e o segundo números sorteados.

(a) Determine a distribuição conjunta de X 1 e X 2 .

(b) Obtenha as distribuições marginais de X 1 e X 2 . Elas são independentes?

(c) Encontre a média e a variância de X 1 , X 2 e   X - = ( X 1   +   X 2   ) / 2 .

Passo 1

(a) Determine a distribuição conjunta de X 1 e X 2 .

A primeira coisa que devemos fazer é determinar o espaço amostral. Pelo enunciado, temos que uma tira é sorteada e recolocada na urna; então, uma segunda tira é sorteada, portanto temos:

Ω = { 1,1 ; 1,3 ; 1,5 ; 1,7 ; 3,1 ; 3,3 ; 3,5 ; 3,7 ; 5,1 ; 5,3 ; 5,5 ; 5,7 ; 7,1 ; 7,3 ; 7,5 ; 7,7 }

Passo 2

Analisando apenas a probabilidade da primeira retirada ( X 1 ) :

Como temos 5 possibilidades (1, 3, 5, 5, 7), podemos afirmar que

P X = 1 = P X = 3 = P X = 5 = P X = 7 = 1 5

Como na urna tem duas tiras de papel do número 5, temos

P X = x = 2 5

Montando a tabela de distribuição marginal de X 1 .

Passo 3

Analisando apenas a probabilidade da segunda retirada ( X 2 ) :

Como temos 5 possibilidades (1, 3, 5, 5, 7), pois é COM REPOSIÇÃO, podemos afirmar que

P X = 1 = P X = 3 = P X = 5 = P X = 7 = 1 5

Como na urna tem duas tiras de papel do número 5, temos

P X = x = 2 5

Montando a tabela de distribuição marginal de X 2 .

Passo 4

Montando a tabela de distribuição de X 1 e X 2 .

Galera, as distribuições marginais estão na última linha e na última coluna. Montamos a tabela de distribuição dos dois só para mostrar que elas SEMPRE vão aparecer e estar nas extreminidades, beleza? 😉.

Só tá faltando uma coisa, elas são independentes?

Se nós olharmos para tabela de cima, veremos que X 1 e X 2 são independentes, pois os produtos marginais são iguais as caselas.

Passo 5

(c) Encontre a média e a variância de X 1 , X 2 e   X - = ( X 1   +   X 2   ) / 2 .

Primeiro, vamos encontrar a média e a variância de X 1 e X 2 .

Sabemos que

E X = ∑ i = 1 n x i . P ( X = x i )

Portanto

E X 1 = E X 2 = 1 . 1 / 5 + 3 . 1 5 + 5 . 2 5 + 7 . 1 5 = 4,2

Para o cálculo da V a r ( X ) precisamos lembrar da seguinte fórmula:

V a r X = E X 2 - E X 2

Portanto, precisamos calcular E ( X 2 )

E X 1 2 = E X 2 2 = 1 2 . 1 5 + 3 2 . 1 5 + 5 2 . 2 5 + 7 2 . 1 5 = 21,8

Substituindo nas fórmulas, temos:

V a r X 1 = V a r X 2 = 21,8 - 4,2 2 = 4,16

Agora para encontramos a média e a variância de E X - = ( X 1 + X 2 ) / 2 vamos usar a média e a variância de X 1 e X 2 .

E X - = E X 1 2 + E X 2 2 = 1 2 E X 1 + E X 2 = 4,2

Devido a independência

V a r X - = 1 4 V a r X 1 + V a r X 2 = 8,32 4 = 2,08

Resposta

(a)

(b)

São independentes, pois os produtos das marginais são iguais as caselas.

(c)

E X 1 = E X 2 = 4,2

V a r X 1 = V a r X 2 = 4,16

E X - = 4,2

V a r X - = 2,08

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