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Exercícios Resolvidos de Bussab - Estatística Básica

Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica - 12.Problemas - 4

Se, ao lançarmos três vezes uma moeda, aparecerem 3 coroas, decidimos rejeitar a hipó-

tese de que a moeda é “honesta”. Quais as probabilidades de erro de tipo I e erro de tipo

II, se p = 2 3 ?

Passo 1

  Temos, X = n ú m e r o   d e   c o r o a s   e m   t r ê s   l a n ç a m e n t o s .

Com X ~ b i n o m i a l 3 , p

Lembrando da distribuição binomial:

P X = k = n k .   p k   .   1 - p n - k  

Temos então o seguinte teste de hipótese:

H 0 : p = 0,5   o u   p ≠ 0,5

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Passo 2

α = P E r r o   t i p o   I = P r e j e i t a r   H 0 H 0   é   v e r d a d e =

Como vamos rejeitar a hipótese de moeda ser “honesta” no caso de obtermos 3 coroas:

Então:

P X = 3   X ~ b i n o m i a l ( 3   ;   0,5 ) ) = ( 3 3 )   .   ( 0,5 3 )   .   ( 0,5 0 ) = 0,125 = 12,5 %  

Passo 3

β = P E r r o   t i p o   I I = P X < 3   X ~ b i n o m i a l 3   ; 2 3 = 1 - P X ≥ 3 = 1 - P ( X = 3 )

Portanto:

3 3 .   0 , 667 3 .   0 , 667 0 = 1 - 0,2967 = 0,7032 = 70,32 %

Resposta

α = 12,5 %       e     β = 70,32 %

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