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Exercícios Resolvidos de Bussab - Estatística Básica

Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica - 12.Problemas - 28b

Um dos maiores problemas de uma grande rede de vendas a varejo é a adequação do

estoque declarado com o real existente. Decidiu-se fazer a verificação através de procedi-

mentos amostrais.

Indicando por X   o   t o t a l   e m   u n i d a d e s   m o n e t á r i a s   d e   c a d a   p r o d u t o   e m   e s t o q u e , verificou-se que   X   ~   N ( μ ,   400 ) . Serão sorteados 4 produtos. O total X de cada

um será verificado e calcular-se-á a média X - , que será a estatística de decisão.

Numa determinada filial, o valor declarado de μ   é 50. Havendo falta, esse parâmetro deve ser

45; no caso de excesso, 58.

(a) Defina H 0   e   H 1 .

(b) Descreva os erros do tipo I e II.

(c) Fixando α   =   10 % , qual a regra de decisão para julgar se o estoque está correto ou não?

(d) Calcule o erro β .

(e) Qual o significado de α   e   β   nesse problema?

Passo 1

  1. H 0 :   μ = 50     e     H 1 : μ ≠ 50 ,   c o m   μ ∈ { 45 ; 58 }
  2. O Erro tipo I é o erro que cometido quando rejeitamos a hipótese nula( H 0 ), quando na verdade ela é verdadeira; ou seja, é dizer que o valor real é diferente do declarado, quando na verdade ele é igual ao declarado.
  3. Erro tipo II é quando aceitamos a hipótese nula, quando na verdade ela é falsa; significa dizer que o valor real é igual ao declarado, quando na verdade é diferente.

    Passo 2

  4. α = P E r r o   t i p o   I = P X - < X - c 1   o u   X - > X - c 2 X ~ N μ ; 400 =
  5. P X - - 50 400 4 < X - c 1 - 50 400 4 + P X - - 50 400 4 > X - c 2 - 50 400 4 = 0,10

    P Z < X - c 1 - 50 10 + P Z > X - c 2 - 50 10 = 0,10

    Então:

    X - c 1 - 50 10 = - 1,64       e         X - c 2 - 50 10 = 1,64

    Logo,

    R C = X - ∈ R X - < 33,65   o u   X - > 66,45 }    

    Passo 3

  6. β = P E r r o   T i p o   I I = P r e j e i t a r   H 0 H 0   é   v e r d a d e i r o = P 33,65 < X - < 66,45 =
  7. Quando μ = 45 :

    P 33,65 - 45 10 < Z < 66,45 - 45 10 = P - 1,14 < Z < 2,14 = 0,37286 + 0,48382 =

    = 0,85668

    Lembrando que na tabela de distribuição normal, temos de pegar o valor de p   d e   0   a t é - 1,14   e   s o m a r   c o m   o   v a l o r   d e   p   d e   0   a t é   2,14 .

    Quando μ = 58 :

    P 33,65 - 58 10 < Z < 66,45 - 58 10 = P - 2,44 < Z < 0,84 = 0,29955 + 0,49266 =

    = 0,79221

  8. α é a probabilidade de cometer erro tipo I, ou seja, é dizer que o valor real é diferente do declarado, quando na verdade ele é igual ao declarado.

β é a probabilidade de cometer erro tipo II, significa dizer que o valor real é igual ao declarado, quando na verdade é diferente.

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Resposta

  1. H 0 :   μ = 50     e     H 1 : μ ≠ 50 ,   c o m   μ ∈ { 45 ; 58 }
  2. O Erro tipo I é o erro que cometido quando rejeitamos a hipótese nula( H 0 ), quando na verdade ela é verdadeira.
  3. Erro tipo II é quando aceitamos a hipótese nula, quando na verdade ela é falsa.

  4. R C = X - ∈ R X - < 33,65   o u   X - > 66,45 }    
  5. Quando μ = 45 → 0,85668
  6. Quando μ = 58 → 0,79221

  7. α é a probabilidade de cometer erro tipo I, ou seja, é dizer que o valor real é diferente do declarado, quando na verdade ele é igual ao declarado.

β é a probabilidade de cometer erro tipo II, significa dizer que o valor real é igual ao declarado, quando na verdade é diferente.

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