Enunciado

Uma máquina para ensaio de desgaste consta de quatro escovas carregadas, sob as quais se fixam amostras do material, a fim de medir suas resistências à abrasão. A perda de peso do material, depois de um dado número de ciclos, é usada como medida de resistência ao desgaste. Os dados da tabela a seguir indicam a perda de peso de quatro materiais ensaiados:

Pede-se:

  1. Há uma quantidade significativa de variação dependente da posição da escova, com α = 0,05 ?;
  2. Há diferenças significativas na resistência à abrasão entre os quatro materiais, com α = 0,05 ?.

Passo 1

Olá galerinha, vamos lembrar um pouquinho sobre análise de variância? Vem comigo!

A análise de variância constitui-se de um conjunto de técnicas estatísticas para descobrir “fatores” que produzem mudanças sistemáticas em alguma variável de interesse. Os fatores propostos podem ser variáveis quantitativas ou qualitativas, enquanto a variável dependente é quantitativa e é observada dentro das classes dos fatores.

A análise de variância de classificação dupla serve para testar, simultaneamente, diferenças entre médias, levando-se em conta 2 tratamentos ou fatores. Nomenclaturas:

  • N número total de elementos observados;
  • K número total de colunas (1° fator);
  • n i número total de linhas (2° fator);
  • X ̿ média geral:
  • X ̿ = ∑ i ∑ j x i j N

  • x - i média de colunas:
  • x - i = ∑ j x i j n i

  • x - j média de linhas:

x - j = ∑ i x i j K

Sabendo disso, vamos lá para nosso exercício!

  1. Definir as hipóteses nula e alternativa:
  • H 0 : μ i = μ j = μ
  • H 1 : pelo menos uma das μ i ou μ j ≠ μ
  • α = 0,05
    • F α i K - 1 ) ; ( K - 1 n i - 1 (entre colunas)
    • F α j [ n i - 1 ) ; ( K - 1 n i - 1 ] (entre linhas)
    • Onde:

      • n i = 4
      • K = 4
      • N = 16

      Então:

    • F α i → F 0,05 i 3 ) ; ( 3 3 = F 0,05 ( 3 , 9 )
    • F α j → F 0,05 j 3 ) ; ( 3 3 = F 0,05 ( 3 , 9 )

    Passo 2

  • Determinar a região crítica:
  • F 0,05 3 , 9 = 3,86

  • Calcular a variável, através do Quadro de Análise de Variância:
  • Onde:

    C = ∑ i ∑ j x i j 2 N

    Temos os seguintes dados:

    Primeiramente iremos calcular o valor C :

    C = 38,41 2 16 = 92,208

    A variação total:

    S t = 1,93 2 + 2,55 2 + ⋯ + 2,25 2 - 92,208 = 0,764

    A variação entre linhas é:

    S j = 8,76 2 4 + 10,72 2 4 + 9,67 2 4 + 9,26 2 4 - 92,208 = 0,520

    E a variação entre as colunas é:

    S e = 9,21 2 4 + 10,18 2 4 + 9,54 2 4 + 9,48 2 4 - 92,208 = 0,127

    Com esses valores, conseguimos encontrar a variação dentro da amostra:

    S r = 0,764 - 0,520 - 0,127 = 0,117

    Sendo assim, conseguimos completar nossa tabela:

  • Conclusão:
    • F c a l c i < F t a b i ou 3,23 < 3,86 , então aceitamos H 0 , para α = 0,05 , ou seja, não há quantidade significativa de variação dependente da posição da escova.
    • F c a l c j > F t a b j ou 13,31 > 3,86 , então rejeitamos H 0 , para α = 0,05 , há diferença significativa na resistência à abrasão entre os materiais.

    Prontinho pessoal, até mais!

    Resposta

    1. F c a l c i = 3,23 aceitamos H 0 , não há diferença entre a posição da escova.
    2. F c a l c j = 13,31   rejeitamos H 0 , há diferença entre os materiais.

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