Enunciado

Uma mistura de resíduo de combustível pulverizado e cimento Portland a ser usada para reboco deve ter uma resistência à compressão de mais de 1300 K N / m 2 . A mistura não será utilizada a menos que a evidência experimental indique conclusivamente que a especificação da resistência seja satisfeita. Suponha que a resistência à compressão dos espécimes dessa mistura seja normalmente distribuída com σ = 60 . Seja μ a resistência à compressão média real.

a. Quais são as hipóteses nula e alternativa apropriadas?

b. Seja X ‾ a resistência à compressão média amostral de n = 20 espécimes selecionados aleatoriamente. Considere o procedimento de teste com estatística de teste X ‾ e região de rejeição x ‾ ≥ 1331,26 . Qual é a distribuição de probabilidades da estatística de teste quando H 0 for verdadeira? Qual é a probabilidade de um erro tipo I para o procedimento de teste?

c. Qual é a distribuição de probabilidades da estatística de teste quando μ = 1350 ? Usando o procedimento de teste do item (b), qual é a probabilidade de a mistura ser considerada insatisfatória quando de fato μ = 1350 (um erro tipo II)?

d. Como você mudaria o procedimento de teste do item (b) para obter um teste com nível de significância de 0,05 ? Que impacto essa mudança teria na probabilidade de erro do item (c)?

e. Considere a estatística de teste padronizada Z = os valores de Z correspondentes à região de rejeição do item (b)?

Passo 1

a.  H o : μ = 1300  vs  H a : μ > 130 0

Passo 2

b. x ‾ é normalmente distribuído com média E( x ‾ )=μ e desvio padrão σ n = 60 20 = 13.416 . Quando H o é verdadeiro, E ( x ‾ ) = 1300 . Assim α = P x ‾ ≥ 1331.26 quando H o é verdadeiro )= P z ≥ 1331.26 - 1300 13.416 = P ( z ≥ 2.33 ) = . 01

Passo 3

c. Quando μ = 1350 , x ‾ tem uma distribuição normal com média 1350 e desvio padrão 13.416 , então β ( 1350 ) = P ( x ‾ < 1331.26 quando μ = 1350 ) = P z ≤ 1331.26 - 1350 13.416 = P ( z ≤ - 1.40 ) = . 0808

Passo 4

d. Troque 1331.26 por c, em que c satisfaz c - 1300 13.416 = 1.645 (uma vez que P ( z ≥ 1.645 ) = . 05 ) . Portanto c = 1322.07 . Aumentar α dá uma diminuição em β; agora β ( 1350 ) = P ( z ≤ - 2.08 ) = . 0188

Passo 5

e. x ‾ ≥ 1331.26 se z ≥ 1331.26 - 1300 13.416 i.e. se z ≥ 2.33 .

Resposta

a. 130 0

b. . 01

c. 0808

d. 0188

e. z ≥ 2.33

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