Enunciado

Uma moeda equilibrada é lançada três vezes e são definidas as variáveis aleatórias: número de caras nos dois primeiros resultados ( X ), número de caras no último lançamento ( Y ) e número total de caras ( S ).

a) Construa a tabela conjunta de X ,   Y .

b) Verifique se X e Y são independentes.

c) Calcule E X , E Y e C o v X ,   Y .

d) Expresse S em função de X e Y e determine E S e V a r S .

Passo 1

Bom, o primeiro passo é construir o espaço amostral. Nesse caso, como cada lançamento tem duas possibilidades e temos três lançamentos, o número total de eventos no espaço amostral é

2 3 = 8

Assim, podemos construir a tabela:

Agora podemos construir a tabela conjunta de X ,   Y com as probabilidades de cada situação:

Note que os únicos casos que a probalidade não é 1 / 8 são os casos quem que X = 1 , pois cada um deles têm multiplicidade dupla de ocorrência!

Passo 2

Agora temos que verificar se X e Y são independentes. Raciocinando sem fazer nenhuma conta, por quê o resultado do terceiro lançamento deveria depender dos dois primeiros? Com isso, somos levados a conjecturar que X e Y são independentes, mas devemos provar isso.

Duas variáveis X e Y são independentes se para todos os x ,   y do espaço amostral, tivermos:

P X = x     Y = y ) = P X = x ⋅ P ( Y = y )

Da tabela conjunta, temos que

P X = 0 = 1 4 ,             P X = 1 = 1 2           e           P X = 2 = 1 4

P Y = 0 = 1 2               e             P Y = 0 = 1 2

Portanto,

P X = 0     Y = 0 ) = 1 8 = 1 4 ⋅ 1 2 = P X = 0 ⋅ P ( Y = 0 )

P X = 1     Y = 0 ) = 1 4 = 1 2 ⋅ 1 2 = P X = 1 ⋅ P ( Y = 0 )

P X = 2     Y = 0 ) = 1 8 = 1 4 ⋅ 1 2 = P X = 2 ⋅ P ( Y = 0 )

P X = 0     Y = 1 ) = 1 8 = 1 4 ⋅ 1 2 = P X = 0 ⋅ P ( Y = 1 )

P X = 1     Y = 1 ) = 1 4 = 1 2 ⋅ 1 2 = P X = 1 ⋅ P ( Y = 1 )

P X = 2     Y = 1 ) = 1 8 = 1 4 ⋅ 1 2 = P X = 2 ⋅ P ( Y = 1 )

Com isso, vemos que para todos os x ,   y do espaço amostral, vale

P X = x     Y = y ) = P X = x ⋅ P ( Y = y )

Portanto, X e Y são de fato independentes!

Passo 3

Agora que já conhecemos as distribuições marginais de probabilidade p x e p ( y ) , podemos calcular:

E X = 0 ⋅ P X = 0 + 1 ⋅ P X = 1 + 2 ⋅ P X = 2 = 0 + 1 ⋅ 1 2 + 2 ⋅ 1 4 = 1

E Y = 0 ⋅ P Y = 0 + 1 ⋅ P Y = 1 = 0 + 1 ⋅ 1 2 = 1 2

Além disso, como X e Y são independentes, temos que

C o v X ,   Y = 0

Portanto,

E X = 1 ,             E Y = 1 2             e           C o v X ,   Y = 0

Passo 4

É fácil perceber que

S = X + Y

Se X é o total de caras nos dois primeiros lançamos e Y é o total de caras no terceiro lançamento, a soma de X com Y vai ser o total de caras nos dois lançamentos!

Assim,

E S = E X + Y = E X + E Y = 1 + 1 2 = 3 2

Já para a variância, usamos a fórmula:

V a r S = V a r X + Y = V a r X + V a r Y + 2   C o v X ,   Y

Como C o v X ,   Y = 0 , temos que

V a r S = V a r X + V a r Y

Vamos calcular a variação de X :

V a r X = 0 - E X 2   P X = 0 + 1 - E X 2   P X = 1 + 2 - E X 2   P X = 2

V a r X = 1 ⋅ 1 4 + 0 + 1 ⋅ 1 4 = 1 2

Já para Y :

V a r Y = 0 - E Y 2   P Y = 0 + 1 - E Y 2   P Y = 1

V a r Y = 1 2 2 ⋅ 1 2 + 1 2 2 ⋅ 1 2 = 1 4

Assim,

V a r S = 1 2 + 1 4 = 3 4

Resposta

E X = 1 ,             E Y = 1 2             e           C o v X ,   Y = 0

S = X + Y ,             E S = 3 2             e           V a r S = 3 4

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