Enunciado

Para o lançamento de dois dados equilibrados, defina duas variáveis aleatórias. Seja X o número de vezes que aparece a face 2 e Y igual a 0 se a soma for par e 1, caso contrário.

  1. Determine a função de probabilidade conjunta de X e Y.
  2. Calcule E X ,   E Y   e   E X + Y .
  3. Verifique se X e Y são independentes.
  4. Calcule o coeficiente de correlação entre X e Y.

Passo 1

  1. Para entender o problema temos que pensar que vamos fazer um lançamento de dois dados, e portanto precisamos saber quais valores nossas variáveis podem assumir.

A variável X pode assumir os valores { 0 ,   1 ,   2 } dependendo se nenhum dos dados caiu com a face dois para cima, ou se um deles caiu com a face dois para cima, ou se ambos caíram com a face 2 para cima.

A variável Y assumo os valores {0, 1} como nos foi dito no enunciado, e agora precisamos calcular as probabilidades de cada um desses valores para ambas as variáveis. Vamos fazer isso no próximo passo.

Passo 2

P X = 0 = 5 6 × 5 6 = 25 36

Porque ambos os dados tem que cair com as faces diferentes de 2 para cima.

P X = 1 = 1 6 × 5 6 + 5 6 × 1 6 = 10 36

Dado que um dado caiu com a face 2 para cima e o outro não, e por último:

P X = 2 = 1 6 × 1 6 = 1 36

Passo 3

No caso da variável Y vou ter que avaliar, quais são os pares possíveis.

Para não termos que contar os pares individualmente vamos pensar que para a soma ser par, temos que ou ambos os dados são par, ou ambos os dados são ímpar e que para ser impar, temos que os dados tem que ser um par e um impar:

P + P = P

I + I = P

P + I = I

I + P = I

P Y = 0 = 3 6 × 3 6 + 3 6 × 3 6 = 18 36

Para ser ímpar temos:

P Y = 1 = 3 6 × 3 6 × 2 = 18 36

Passo 4

Agora que temos as parciais, podemos montar a tabela de probabilidade conjunta:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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