Enunciado

Em momentos de pico, a chegada de aviões a um aeroporto se dá segundo o modelo Poisson com taxa de 1 por minuto.

a. Determine a probabilidade de 3 chegadas em um minuto qualquer do horário de pico.

b. Se o aeroporto pode atender 2 aviões por minuto, qual a probabilidade de haver aviões sem atendimento imediato?

c. Previsões para os próximos anos indicam que o tráfego deve dobrar nesse aeroporto, enquanto que a capacidade de atendimento poderá ser no máximo ampliada em 50%. Como ficará a probabilidade de espera por atendimento?

Passo 1

O exercício nos diz que a situação segue o modelo de Poisson que é dado por:

P X = k = e - λ λ k k ! ,   k = 0 ,   1 ,   2 ,   …

Note que a taxa com que os aviões são atendidos é de 1 por minuto, esse será nosso parâmetro, ou seja, λ = 1 , assim:

P X = k = e - 1 1 k k ! ,   k = 0 ,   1 ,   2 ,   …

Com isso, em (a) queremos saber a probabilidade de termos 3 chegadas de avião em um minuto qualquer do horário de pico, ou seja, P ( X = 3 ) , assim:

P X = 3 = e - 1 1 3 3 ! = 0,061

Passo 2

Em (b), a alternativa nos fornece um novo parâmetro, o aeroporto passa a poder atender 2 aviões por minuto, ou seja, λ = 2 , logo:

P X = k = e - 2 2 k k ! ,   k = 0 ,   1 ,   2 ,   …

Com isso, queremos saber a probabilidade de haver aviões sem atendimento imediato, ou seja, de haver no mínimo 3 aviões chegando no mesmo minuto, daí P X ≥ 3 , podemos calcular da seguinte forma:

P X ≥ 3 = 1 - P X = 0 - P X = 1 - P ( X = 2 )

Assim,

P X ≥ 3 = 1 - e - 2 2 0 0 ! - e - 2 2 1 1 ! = 1 - 0,1353 - 0,2706 - 0,2240 = 0 , 3701

Passo 3

Na alternativa (c), temos a informação que o tráfego no aeroporto vai dobrar e a sua capacidade de atendimento vai aumentar no máximo 50%, ou seja, λ = 3 . Note que esses valores estão sendo referentes a alternativa (b). Teremos então:

P X = k = e - 3 3 k k ! ,   k = 0 ,   1 ,   2 ,   …

Queremos saber então qual será a probabilidade de terem aviões não atendidos. Como o aeroporto via estar atendendo no máximo 3 aviões por minuto, ficarão sem atendimento um número de aviões acima desse valor, ou seja, P ( X ≥ 4 ) , assim:

P X ≥ 4 = 1 - P X = 0 - P X = 1 - P X = 2 - P X = 3

P X ≥ 4 = 1 - e - 3 3 0 0 ! - e - 3 3 1 1 ! - e - 3 3 2 2 ! - e - 3 3 3 3 !

P X ≥ 4 = 1 - 0,0498 - 0,1494 - 0,2240 - 0,2240 = 0,3528

Resposta

  1. 0,061;
  2. 0,5941;
  3. 0,3528.
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