Enunciado

Mostre que n k = n n - k . Forneça uma interpretação envolvendo subconjuntos.

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício, vem comigo!

Vamos desenvolver a primeira parte, depois a segunda e comparar os valores obtidos, e assim demonstrar o que é pedido pelo enunciado.

n k = n ! k ! n - k !   ( I )

Na segunda parte, desenvolvendo ficamos com:

n n - k = n ! k ! n - k !   ( I I )

Concluímos que ( I ) e ( I I ) são iguais, logo está demonstrado a igualdade.

A explicação com subconjuntos é o número de subconjuntos de tamanho k = o número de subconjuntos de tamanho n-k, porque para cada subconjunto de tamanho k corresponde exatamente a um subconjunto de tamanho n-k (os n-k objetos que não estão no subconjunto de tamanho k).

Resposta

Vide demonstração.

Exercícios de Livros Relacionados

Um elevador parte do subsolo com 8 pessoas (não incluindo o ascensorista) e as deixa todas juntas ao chegar no último piso, no sexto andar. De quantas maneiras poderia o ascensorista perceber as pesso
Se 8 quadros-negros idênticos forem divididos entre quatro escolas, quantas divisões são possíveis? E se cada escola tiver que receber pelo menos um quadro-negro?
Cinco prêmios diferentes (melhor desempenho escolar, melhores qualidades de liderança, e assim por diante) serão dados a estudantes selecionados de uma classe de trinta alunos. Quantos resultados dife
Se 12 pessoas vão ser divididas em 3 comitês de 3,4 e 5 pessoas. Quantas divisões são possíveis?
Temos 20 mil reais que devem ser aplicados entre 4 carteiras diferentes. Cada aplicação deve ser feita em múltiplos de mil reais, e os investimentos mínimos que podem ser feitos são de 2, 2,3 e 4 mil