Enunciado

Mostre que a variância de S2, para amostras aleatórias de tamanho n de uma população normal, decresce

conforme n se torna maior. [Sugestão: Primeiro determine a variância de (n - l) S 2/cr2.]

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

De acordo com a questão, a amostra aleatória de tamanho é n selecionada de uma população normalmente distribuída e a variância amostral é S 2 .

Passo 2

A estatística, χ 2 = ( n - 1 ) S 2 σ 2 segue a distribuição qui-quadrada quando a amostra aleatória de tamanho é n selecionada de uma população normalmente distribuída e a variância da amostra é S 2 .

Se a variável aleatória, pode ser X escrita na forma de uma combinação linear de uma variável existente, Y isto é, X = a Y , então a variância da variável X pode ser determinada como:

v a r ⁡ ( X )   = v a r ⁡ ( a Y )   = a 2 v a r ⁡ ( Y )

Passo 3

A variância da amostra, S 2 pode ser escrita em termos da χ 2 estatística. Portanto

χ 2   = ( n - 1 ) S 2 σ 2 S 2   = χ 2 × σ 2 n - 1

Portanto, a variância de S 2 é,

v a r ⁡ s 2   = v a r ⁡ χ 2 × σ 2 n - 1   = σ 4 ( n - 1 ) 2 v a r ⁡ χ 2

Passo 4

O denominador da variância de S 2 é ( n - 1 ) 2 . Ou seja, a variância de S 2 é inversamente proporcional ao tamanho da amostra. Portanto, pode-se dizer que a variância será diminuída quando o tamanho da amostra aumentar.

Como a variância de S 2 é inversamente proporcional com n , a variância diminuirá devido ao aumento do tamanho da amostra

Resposta

Resposta nos passos.

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